Ötszög forrásának megtekintése

{{Sokszög infobox
| név = Ötszög
| oldalak száma = 5
| kép (szabályos) = Pentagon.svg
| Schlafli-szimbólum = {5}
| Coxeter-Dynkin diagram =
| szimmetriacsoport = D<sub>5</sub> [[diédercsoport]]
| terület (szabályos) = 1,720477
}}
{{Commonskat|Pentagons|Ötszögek}}
A geometriában  '''ötszögnek''' nevezik az [[öt]]oldalú [[sokszög]]eket.
A '''szabályos ötszög''' egy olyan ötszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú és minden [[szög]]e [[egyenlő]] nagyságú (108°).
A belső [[szög]]ek összege minden ötszögben 540°, akkor is ha az egyes szögek nem  108°-osak. [[Schläfli-szimbólum]]a <math>\left\{5\right\}</math>.
Az ''a'' oldalhosszúságú szabályos ötszög területe az alábbi képlettel számolható:
<math>T = \frac{5a^2\cdot\text {tg}(54^\circ)}{4}\ = \frac{a^2\sqrt{25+10\sqrt5}}{4} \approx 1,720477401 a^2.</math>
Köré írható kör sugara:
<math>r=\frac{a}{2\cos 54^\circ}</math>
Az ötágú csillag ('''[[pentagramma]]''') a szabályos ötszög átlóiból szerkeszthető. [[Schläfli-szimbólum]]a <math>\left\{5/2\right\}</math>. A pentagramma és az ötszög oldalának aránya az [[aranymetszés]]nek felel meg. Az ötágú csillag belső csúcspontjait összekötve egy kisebb szabályos ötszöget kapunk.
== Szerkesztés ==
A szabályos ötszög megszerkeszthető egyetlen [[vonalzó]] és [[körző]] segítségével akár a köré írható kör sugara, akár egy oldala ismeretében. Ezt a szerkesztést [[Eukleidész (matematikus)|Euklidész]] [[i. e. 300]] körül leírta [[Elemek]] című könyvében.
{|
|[[Fájl:pentagon-construction.svg|thumb|Ötszög szerkesztése]]
Az ötszög szerkesztésének egyik módszere a következő:
# Rajzoljuk meg az ötszög köré írható kört, középpontja legyen ''O''. (Az ábrán ez a zöld színnel jelölt kör.)
# Jelöljünk meg egy ''A'' pontot a kör kerületén, ez lesz az ötszög egyik csúcsa. Húzzunk egy egyenest ''O'' és ''A'' ponton keresztül.
# Szerkesszünk egy, az O ponton átmenő és az ''OA'' szakaszra merőleges egyenest. Ennek az egyenesnek a körrel való egyik metszéspontja legyen ''B''.
# Szerkesszük meg az ''OB'' szakasz ''C'' felezőpontját.
# Rajzoljunk kört ''C'' középponttal az ''A'' ponton keresztül. (Piros kör) Az ''OB'' egyenessel való metszéspontja (az első körön belül) legyen ''D''.
# Az ötszög oldalának hossza az AD szakasz hosszával egyenlő. Körzőnyílásba véve az AD távolságot és az első körre A pontból rendre felmérve az AD hosszakat, megkapjuk a szabályos ötszög többi csúcsát: az ''E'', ''F'', ''G'' és ''H'' pontokat. Így az A-val együtt öt pontot kaptunk az eredeti körön. A szomszédosokat egyenes szakasszal összekötve a szerkesztést befejeztük.
|}
A szabályos ötszög átlói ötágú csillagot alkotnak, középen egy kisebb, szabályos ötszöggel.
<gallery>
Kép:Pentagram in pentagon.svg|Ötágú csillag
Kép:Pentagon construct.gif| Más szerkesztés
</gallery>
== A sík lefedése ötszögekkel ==
[[Fájl:PentagonTilings15.svg|bélyegkép|A síkot hézagmentesen kitöltő ötszög-típusok]]
Szabályos ötszögekkel nem lehet hézagmentesen lefedni a síkot, azonban néhány nem szabályos ötszöggel igen. Az első öt ilyen ötszögtípust [[Karl Reinhardt]] német matematikus fedezte fel 1918-ban. 1968-ban R. B. Kershner további hármat, 1975-ben Richard James még egyet talált. A következő években egy amerikai háziasszony, Marjorie Rice négy új ötszöget fedezett fel, majd 1985-ben Rolf Stein még egyet. 2015 júliusában három amerikai kutató, Casey Mann, Jennifer McLoud and David Von Derau újabb, a síkot hézagmentesen lefedő ötszöggel állt elő.<ref>{{cite web|author=Alex Bello|title=Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile|url=http://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/aug/10/attack-on-the-pentagon-results-in-discovery-of-new-mathematical-tile|date=2015-08-11|accessdate=2015-08-14|publisher=The Guardian}}</ref><ref>{{cite web|author=sarkadizs|title=Matematikai áttörés: új ötszöget fedeztek fel, ami teljesen lefedi a síkot|url=http://444.hu/2015/08/13/matematikai-attores-uj-otszoget-fedeztek-fel-ami-teljesen-lefedi-a-sikot/|date=2015-08-13|accessdate=2015-08-14|publisher=444.hu}}</ref>
== Hivatkozások ==
{{jegyzetek|oszlopok=1}}
== További információk ==
*Kovács Ádám–Vámos Attila: ''Aranyháromszög. Aranymetszés, Fibonacci-sorozat, szabályos ötszög''; Műszaki, Budapest, 2007
*[https://web.archive.org/web/20080616063532/http://www.opentutorial.com/Construct_a_pentagon Ötszög szerkesztése egyetlen körzővel és vonalzóval]
* [http://www.mathopenref.com/pentagon.html Az ötszög tulajdonságai interaktív animációval],
* {{cite web| url = | title = Constructions for the regular pentagon| accessdate = 2009-09-04| author =Robin Ho| year = 2002| language = angol| archiveurl =https://web.archive.org/web/20071021072257/http://www.geocities.com/robinhuiscool/Pentagon.html| archivedate = 2007-10-21}}
* [https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1056&bodyId=1245 Reneszánsz művészek közelítő szerkesztései szabályos ötszögre] a [https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]-nél
*[https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1049683928383038&set=p.1049683928383038&type=1&theater Újabb megoldások a parkettázási problémára]
{{Sokszögek}}
{{Nemzetközi katalógusok}}
{{Portál|Matematika}}
[[Kategória:Sokszögek|05]]