A háromszög beírt köre és hozzáírt körei forrásának megtekintése

{{redir2|Beírt kör|A|Beírt kör (sokszög)}}
[[Fájl:Incircle and Excircles.svg|frame|A háromszög beírt köre és hozzáírt körei]]
A [[geometria|geometriában]] a [[háromszög]] '''beírt köre''' vagy a '''háromszögbe írt kör''' olyan [[kör (geometria)|kör]], amely a háromszög minden oldalát érinti, középpontja a belső szögfelezők metszéspontja, sugara a kör középpontját és az érintési pontokat összekötő szakasz (azaz a középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz hossza). A beírt körnek nagy a jelentősége a háromszögek geometriájában.
[[Fájl:Intouch Triangle and Gergonne Point.svg|frame|none|A háromszög beírt köre által meghatározott '''Gergonne pont''' (Ge)]]
==Hozzáírt kör==
A '''hozzáírt kör''' a [[háromszög]] egyik oldalát és a másik két oldalának meghosszabbítását érintő [[kör (geometria)|kör]]. Minden háromszögnek három hozzáírt köre van.
A hozzáírt körök középpontjai megkaphatók a háromszög egy belső és a háromszög két másik szögéhez tartozó külső szögfelező metszéspontjaként. Ezek a pontok olyan háromszöget alkotnak, aminek [[magasságpont]]ja a beírt kör középpontja.
==A beírt kör középpontja==
'''Tétel:''' A háromszög beírt körének középpontja a háromszög három szögfelezőjének közös metszéspontja.
'''Bizonyítás:''' Az α szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az AB és a CA oldalaktól. Hasonlóan, a β szög felezőjének pontjai egyenlő távolságra fekszenek a BC és az AB oldalaktól. A két szögfelező metszéspontjai tehát egyenlő távolságra vannak mindhárom oldaltól, ezért a harmadik szögfelezőnek is át kell mennie ezen a ponton.
A beírt kör a háromszög minden oldalát belülről érinti, míg a hozzá írt körök kívülről érintenek egy-egy oldalt, és a két oldalegyenest a háromszögön kívül. Mindegyik kör középpontja a háromszög nevezetes pontjai közé tartozik.
A beírt kör középpontjának [[trilineáris koordináták|trilineáris koordinátái]] 1:1:1, [[baricentrikus koordináták|baricentrikus koordinátái]] ''a'':''b'':''c'', ahol a : arra utal, hogy ezek a koordináták csak konstans szorzó erejéig vannak meghatározva.
==A beírt kör sugara==
Jelölje a háromszög oldalait ''a'', ''b'', ''c'', a háromszög kerületének felét ''s'', a háromszög területét ''T''!
Ekkor a beírt kör sugara
<math>r = \frac{2 T}{a+b+c} = \sqrt{\frac{(s-a) (s-b) (s-c)}{s} }</math> (a [[Hérón-képlet]] behelyettesítésével)
A sugár egy oldal és a rajta fekvő két szög ismeretében is kiszámítható:
<math>r = \frac{a}{\mathrm{ctg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + \mathrm{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right)}
= \frac{b}{\mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \mathrm{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right)}
= \frac{c}{\mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \mathrm{ctg}\left(\frac{\beta}{2}\right)}</math>
==A hozzáírt körök sugara==
A BC oldalhoz tartozó hozzáírt kör sugara:
:<math>\varrho_a = \frac{2 T}{b+c-a}</math>
A másik két hozzáírt kör <math>\varrho_b</math> és <math>\varrho_c</math> sugara hasonlóan számítható.
A Hérón-képlet alapján:
:<math>\varrho_a = \sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}</math>.
Hasonlóan, a másik két hozzáírt kör sugara:
:<math>\varrho_b = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-c)}{s-b}}</math> és <math>\varrho_c = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}</math>.
==Érintési pontok==
A továbbiakban <math>c_a</math> jelöli a ''C'' csúcs és az ''a'' oldalhoz írt kör ''a'', illetve ''b'' oldalegyenesen levő érintési pontjainak távolságát. Hasonlóan, <math>b_a</math> jelöli a ''B'' csúcs és az ''a'' oldalhoz írt kör ''a'', illetve ''c'' oldalegyenesen levő érintési pontjainak távolságát. Analóg módon jelöljük a csúcsok és a másik két hozzáírt kör érintési pontjainak távolságát.
<math>c_a = a_c = s - b</math>,
<math>c_b = b_c = s - a</math>,
<math>a_b = b_a = s - c</math>.
Ha az érintési pontokat összekötjük a velük szemben fekvő csúccsal, akkor a kapott egyenesek egy ponton mennek át, a Nagel-ponton.
== Kapcsolódó szócikkek ==
*[[Beírt kör (sokszög)]]
*[[Köréírt kör]]
*[[Háromszög]]
==Források==
*Reiman István: Geometria és határterületei
*[[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]] und S. L. Greitzer: ''Zeitlose Geometrie.'' Klett, Berlin 1956.
{{csonk-dátum|csonk-geometria|2007 májusából}}
{{DEFAULTSORT:Háromszögbeírtköreéshozzáírtkörei}}
[[Kategória:Háromszögek]]
[[Kategória:Trigonometria]]