Algebra forrásának megtekintése

{{egyért2|a matematika egyik ágáról|Algebra (egyértelműsítő lap)}}
{{Matematika}}
Az '''algebra''' a [[matematika]] egyik ága, a [[Művelet|matematikai művelet]]ek általános tudománya. A „művelet” fogalma a matematika minden ágában alapvető szerepet játszik, de magát a művelet ''általános'' fogalmát, és annak fajtáit (tekintet nélkül konkrét alkalmazásukra) az algebra vizsgálja. Az algebra jellemzően [[matematikai struktúra|struktúrákkal]] foglalkozik, amelyek olyan halmazok, amelyek elemei között hasonló műveleti tulajdonságokkal rendelkező műveleteket definiálnak.
A [[geometria|geometriához]], [[matematikai analízis|analízishez]], [[kombinatorika|kombinatorikához]] és [[számelmélet]]hez hasonlóan az algebra egyike a [[matematika]] főbb területeinek. Az [[elemi algebra]] gyakran része a középiskolai oktatásnak, olyan alapfogalmakat vezetve be, mint az összeadás és szorzás tulajdonságai, a [[változó (matematika)|változó]] fogalma, [[polinom]] definíciója, faktorizálása és gyökeinek meghatározása.
Ugyanakkor az algebra sokkal nagyobb, általánosabb terület, mint az elemi algebra. Nemcsak közvetlenül számokkal dolgozik, hanem [[szimbólum]]okkal, változókkal és [[Halmaz (matematika)|halmazok elemeivel]]. Az algebrában az összeadás és szorzás általános [[művelet]]ként kezelhető és így olyan érdekes struktúrákra terjeszthetők ki, mint a [[Csoport (matematika)|csoport]], [[gyűrű (matematika)|gyűrű]] és [[test (algebra)|test]].
A tudományterület neve [[Muhammad ibn Músza l-Hvárizmi]]  [[Perzsa Birodalom|perzsa]] [[Az iszlám aranykora|matematikus, asztronómus, asztrológus]] és [[Földrajztudomány|geográfus]] ''Kitáb '''al-Dzsabr''' va l-Mukábala'' (dzsabr: összeilleszkedés, újraegyesítés) című értekezésének címéből származik, amely [[lineáris egyenlet|lineáris]] és [[kvadratikus egyenlet]]ek matematikai megoldását is leírta szimbolikus műveletek segítségével.
A magyar nyelv értelmező szótárának 1959–1962-es kiadása ''betűszámtan''<ref>{{Cite web |title=betűszámtan {{!}} A magyar nyelv értelmező szótára {{!}} Kézikönyvtár |url=https://www.arcanum.com/hu/online-kiadvanyok/Lexikonok-a-magyar-nyelv-ertelmezo-szotara-1BE8B/b-1EF8E/betuszamtan-20C21/ |work=www.arcanum.com |accessdate=2022-01-09}}</ref> néven is ismeri. Ez az algebra szűkebb, elemi értelmezésére utal, azonban, mint látható az algebra jóval több a betűkkel végzett számtani műveleteknél.
== Témái ==
Az algebra durván a következő részterületekre osztható:
* Az '''[[elemi algebra]]''' a [[valós számok|valós]] és [[komplex számok]]on értelmezett műveleteket vizsgálja konstansok és [[változó (matematika)|változók]] segítségével, valamint ezek szerepét matematikai kifejezésekben és egyenletekben.
* Az '''[[absztrakt algebra|absztrakt algebrában]]''' olyan fogalmak kerülnek axiomatikus definiálásra, mint a [[Csoport (matematika)|csoport]], [[Gyűrű (matematika)|gyűrű]] és [[Test (algebra)|test]]. Néha modern algebrának is nevezik.
* A '''[[lineáris algebra]]''' foglalkozik a [[vektortér|vektorterekkel]], azok tulajdonságaival. Ide tartozik a [[Mátrix (matematika)|mátrixok]], [[lineáris leképezés]]ek vizsgálata is.
* Az '''[[univerzális algebra]]''' az absztrakt algebra kibővítése, az algebrai leképezések, struktúrák invariánsait vizsgálja.
* Az '''[[algebrai számelmélet]]''' a [[számelmélet]]i fogalmakat vizsgálja az algebrában, míg az '''[[algebrai geometria]]''' és az '''[[algebrai kombinatorika]]''' hasonlóképpen a [[geometria]] és [[kombinatorika]] algebrai vonatkozásait tartalmazza.
== Története ==
{{arabátír}}
Az '''algebra''' eredete egészen az ókori [[babilon]]iaiakig vezethető vissza, akik kifejlesztettek és használtak egy algebrai módszereken alapuló [[Számtan|aritmetika]]i rendszert. Ennek a segítségével olyan problémákat oldottak meg már 4000 éve, amiket ma általában lineáris vagy [[kvadratikus egyenlet]]ekkel szoktak kezelni. A következő 2000 évben kínai, indiai és görög matematikusok legfőképpen lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú és többismeretlenes egyenletek, lineáris egyenletrendszerek, diofantoszi egyenletek gyökeinek, megoldásainak meghatározásában tettek lépéseket és dolgoztak ki módszereket, megoldásokat. Habár e módszerek jelentős része még geometriai szemléletű volt, felbukkantak absztraktabb megközelítések is.
[[Fájl:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|bélyegkép|jobbra|200px|A ''Rövidítés és törlés tudománya'' egy oldala]]
[[Brahmagupta]] [[india]]i matematikus elsőként alkalmazott általános módszert az első- és másodfokú egyenletek megoldására és [[Apastamba|Apastambával]] együtt képes volt [[diofantoszi egyenlet]]ek kezelésére is. Eredményeiket a ''[[:en:Shulba_Sutras|Sulba Sutrá]]''kban írták le, melyek a hindu szent könyveknek, a [[védák]]nak voltak a matematikával foglalkozó függelékei. Jelentős irat még a  ''[[Bakhshali kézirat]]'', mely már alfabetikus jeleket és képleteket használ többek között ötismeretlenes lineáris egyenletek megoldására és már harmad- és negyedfokú egyenletekkel is foglalkozik. Szintén foglalkozik algebrai egyenletekkel a kínai  ''[[Jiuzhang suanshu]]'' ''(A matematika művészetének kilenc fejezete)'', első- és másodfokú egyenletek geometriai megoldásait tartalmazza és [[lineáris egyenletrendszer]]ekre olyan megoldási módot ad ami megfelel a mai mátrixoknak.
[[Eukleidész (matematikus)|Euklidesz]] görög matematikus ''Elemek'' című könyvének második kötetében foglalkozik másod- és harmadfokú egyenletekkel és geometriai módon oldja meg az előbbieket. 150 körül az alexandriai [[Hérón]] foglalkozik három köteten át algebrai egyenletekkel, majd 200-ban az algebra atyjának tartott [[Diophantosz]], szintén egyiptomban élő matematikus, megírja ''Arithmetica'' című könyvét, melyben számelméleti problémákkal és algebrai egyenletekkel foglalkozik, habár Brahmaguptával ellentétben az ő megoldásai nem általánosak, inkább ad hoc jellegűek.
A következő ezer évben jobbára csak Európán kívül foglalkoztak érdemben matematikával. Híresek a korabeli [[Perzsa Birodalom|perzsa]], [[kínai ókor|kínai]] és [[india]]i matematikusok. Maga az algebra szó az arab eredetű "al-jabr" szóból származik, mely [[Muhammad ibn Músza l-Hvárizmi]] perzsa matematikus ''Kitab '''al-Jabr''' wa-l-Muqabala'' (ejtsd: ''"Hisab al-dzsabr walmukabala"'' ,szó szerint "''A rövidítés és törlés tudománya''") című, 820-ban írt értekezésének címében található. Az "'''al-jabr'''" szó újraegyesülést jelent, a változók redukálására vonatkozik. A hagyomány [[Diophantosz]]t tartja az algebra atyjának, bár jelenleg vita tárgya, hogy ez a cím nem al-Hvárizmit illeti-e. Az al-Hvárizmit támogatói rámutatnak arra a tényre, miszerint redukciós módszereit ma is használják és a könyvében található bizonyítás a [[kvadratikus egyenlet]]ek megoldására részletes és kimerítő. A Diophantoszt támogatók ezzel szemben azt hangsúlyozzák, hogy al-Hvárizmi könyve lényegében elemibb algebrát tartalmaz mint Diophantosz Aritmetikája, és érvelése is inkább retorikai. Egy másik perzsa matematikus, [[Omar Hajjám]] már algebrai geometriával foglalkozott és megtalálta a harmadfokú egyenlet általános geometriai megoldását. [[Vardhamána|Mahávíra]], [[Bhaskara]] indiai és [[Zhu Shijie]] kínai matematikusok ekkor már foglalkoztak harmad-, negyed-, ötöd-, és magasabbfokú egyenletek különböző eseteinek megoldásával is. [[Abu l-Haszan ibn Ali l-Kalaszádi]] arab matematikus 1450-ben megteszi az első lépéseket az algebrai szimbólumok használata felé.
[[Fájl:Diophantus-cover.jpg|jobbra|bélyegkép|200px|[[Diophantosz]] ''Aritmeticá''jának első oldala, latinra fordította: [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]].]]
Ekkor már Leonardo [[Fibonacci]] Pisában megírta ''Liber Acci'' című művét, majd 1535-ben [[Niccolò Tartaglia|Tartaglia]] és más olasz matematikus egymástól függetlenül is képesek az általános harmadfokú egyenlet megoldására. Ettől kezdve a fejlődés felgyorsul, [[Gerolamo Cardano|Cardano]] 1545-ben kiadja az ''Ars magna''-t ("Magas művészet"), mely már tartalmazza a negyedfokú egyenlet általános megoldását is. Ezt fejleszti tovább 1572-ig [[Rafael Bombelli]], amikor megfogalmazza a komplex gyök fogalmát.
Az algebrai szimbolizmus is fejlődésnek indul. 1591-ben [[François Viète]] mássalhangzókat és magánhangzókat használ változók és konstansok jelölésére, majd 1631-ben [[Thomas Harriot]] használja először a kitevőt és a "kisebb vagy egyenlő" illetve "nagyobb vagy egyenlő" jeleket.
A determináns fogalmát először [[Kowa Seki]] japán matematikus alkotta meg a 17. században, majd tíz évvel később [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibnitz]] már használta is őket lineáris egyenletrendszerek megoldására mátrixok segítségével. [[Gabriel Cramer]] ''Introduction to the analysis of algebraic curves''  ("Bevezetés az algebrai görbék analízisébe") című értekezésében megfogalmazza a [[Cramer-szabály]]t és mátrixokat, algebrai görbéket és determinánsokat használ, vizsgál.
Végül 1832-ben [[Évariste Galois]] munkásságával elkezdődik az absztrakt algebra első fejezete, a [[Galois-elmélet]].
Az [[absztrakt algebra]], amit a 19–20. században dolgoztak ki – kezdeményezői elsősorban az angol, később "algebrai"-nak nevezett iskola matematikusai, de később a franciák vették át a vezető szerepet ([[Bourbaki-csoport]])  az úgynevezett [[Matematikai struktúra#Algebrai struktúra|algebrai struktúrák]] vizsgálatával foglalkozik (az absztrakt algebrában az „algebra” szó jelenthet egy ilyen (absztrakt) algebrai struktúrát is). Az algebrai struktúrák vizsgálata az általános értelemben vett műveletek, illetve műveleti tulajdonságok vizsgálatát jelenti. Itt tehát már nem követeljük meg, mint a klasszikus algebrában, hogy a műveleteket számokon hajtsuk végre, definiálhatunk műveleteket tetszőleges elemeken (például [[Halmaz (matematika)|halmaz]]okon, [[Függvény (matematika)|leképezés]]eken, és így tovább). A legáltalánosabban, illetve legelőször vizsgált műveleti tulajdonságok a klasszikus algebrából már jól ismert műveleti tulajdonságok: a [[kommutativitás]], [[asszociativitás]], [[disztributivitás]] stb. voltak.
== Elemi algebra ==
{{bővebben|Elemi algebra}}
'''Elemi algebra''' az algebra legalapvetőbb alterülete. A [[számelmélet]] alapelvein kívül nem szükséges a megértéséhez előzetes matematikai tudás, ezért tanítják igen korán. Számelméletben csak számok és bizonyos aritmetikai műveletek fordulnak elő (mint például az +, -, ×, ÷). Algebrában viszont a számok helyett szimbólumokat használunk (mint ''a'', ''x'', vagy ''y''). Ez azért hasznos, mert:
* Lehetővé teszi a számelméleti törvények általános megfogalmazását (mint ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' minden ''a'', ''b-''re), ami az első lépés az [[egész számok]] tulajdonságainak meghatározása felé.
* Lehetővé teszi az "ismeretlen" számokra való utalást, az [[egyenlet]]ek leírását és annak tanulmányozását, hogyan oldhatók meg. (mondjuk "keressük azt az ''x''-et, amire 3''x'' + 1 = 10").
* Végül lehetővé teszi a [[függvény (matematika)|függvények]] megalkotását (mint a "ha ''x'' jegyet eladunk, a nyereség 3''x'' - 10 Ft lesz" vagyis ''f''''(x)'' = 3''x'' - 10, ahol ''f'' a függvény és ''x'' az a szám amire alkalmazzuk, meghívjuk.)
=== Polinomok ===
{{bővebben|Polinom}}
A '''polinomok''' olyan [[matematikai kifejezés]]ek, amelyek egy vagy több [[változó (matematika)|változóból]] és [[Konstans (matematika)|konstansból]] állnak továbbá ezek között csak az összeadás, szorzás, kivonás műveleteket használjuk (ahol az ismételt szorzás konstans pozitív egész kitevőjű hatványozással jelölendő). Például a <math>x^2 + 2x - 3</math> egy ''x'' változós polinom.
Az algebra egy fontos problémaköre a polinomok [[Prímfelbontás|faktorizáció]]ja, vagyis egy polinom felbontása más polinomok szorzatára. A fenti polinom például <math>(x-1)(x+3)</math> alakba írható.
== Absztrakt algebra ==
{{bővebben|Absztrakt algebra}}
{{lásd|Algebrai struktúra}}
Az '''absztrakt algebra''' az elemi algebrában és számelméletben megtalálható fogalmakat általánosítja, olyan struktúrákat vezetve be, melyek lehetővé teszik absztrakt matematikai fogalmak, kifejezések általános kezelését.
'''[[Halmaz (matematika)|Halmaz]]ok''': Ahelyett hogy különböző típusú számokkal foglalkozna, az absztrakt algebra inkább az általánosabb [[Halmaz (matematika)|halmaz]] fogalmát használja. A halmaz olyan azonos tulajdonságú "objektumok" (elemek) "gyűjteménye, mely tulajdonság a halmazra jellemző. Így az összes azonos típusú szám egy halmazba kerül. A 2×2-es [[Mátrix (matematika)|mátrixok]] halmaza, a másodfokú [[polinom]]ok halmaza, a kétdimenziós [[vektor]]ok halmaza több a gyakran használt halmazok közül. Viszont a [[halmazelmélet]] a logika és nem az algebra alterülete.
'''[[Kétváltozós művelet]]ek''': Az [[összeadás]] és [[szorzás]] általánosítása a kétváltozós művelet fogalma. Ez a fogalom viszont értelmetlen egy halmaz nélkül, amin definiálhatnánk. Ha ''S'' halmaz két ''a'' és ''b'' elemére ''a''*''b'' egy másikat ad meg, akkor a [[Halmaz (matematika)|halmaz]]t zártnak nevezzük. [[Összeadás]] (+), [[kivonás]] (-), [[szorzás]] (*) és [[osztás]] (÷) mind olyan kétváltozós művelet, ami különböző halmazokon is definiálható, mint például a [[Mátrix (matematika)|mátrixok]], [[vektor]]ok, [[polinom]]ok összeadása és szorzása.
'''[[Asszociativitás]]''': Az egész számoknak létezik az a tulajdonsága, hogy tetszőleges csoportokban összeadhatók, például ''(2+3)+4 = 2+(3+4)''. Általánosan * művelet asszociativitása (''a'' * ''b'') * ''c'' = ''a'' * (''b'' * ''c''). Ez a tulajdonság igaz a legtöbb kétváltozós műveletre, de például a kivonásra és osztásra nem.
'''[[Neutrális elem|Egységelem]]''': A nulla és az egy az egységelem triviális példái, előbbi az összeadás, utóbbi a szorzás egységeleme. Általánosan ''e'' akkor egységeleme * kétváltozós műveletre, ha ''a'' * ''e'' = ''e'' * ''a'' = ''a''. Látható, hogy ''x + 0 = 0 + x = x'' és ''y * 1 = 1 * y = y'', de például a pozitív természetes számok halmazán az összeadásnak nincs egységeleme.
'''[[Inverz|Inverz elem]]''': A negatív számok bevezetése teszi lehetővé az inverz fogalmának létrejöttét. Összeadásnál az ''a'' inverze a ''-a'', míg szorzásnál az ''1/a''. Általánosan ''a''<sup>−1</sup> akkor inverze ''a''-nak * műveletre, ha ''a'' * ''a''<sup>−1</sup> = ''e'' és ''a''<sup>−1</sup> * ''a'' = ''e''.
'''[[Kommutativitás]]''': Az egészek egy másik tulajdonsága a kommutativitás, hogy tetszőleges sorrendben összeadhatók, és az eredmény nem változik. Általánosan a halmaz elemeire ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a''. Ez a tulajdonság már igen ritka, például jellemző az egészek összeadására és szorzására, de már nem a mátrixok szorzására.
=== Csoport ===
{{bővebben|Csoport (matematika)}}
{{lásd|Csoportelmélet}}
A fenti fogalmak segítségével megalkotható a matematika legfontosabb struktúrái közé tartozó '''[[Csoport (matematika)|csoport]]'''. Egy ''S'' halmazt és egy hozzá tartozó '*' kétváltozós műveletet akkor nevezünk csoportnak, ha a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
* Létezik ''e'' [[Neutrális elem|egységelem]] úgy, hogy minden ''a'' elemére az ''S'' halmaznak ''e'' * ''a'' és ''a'' * ''e'' = ''a''.
* Minden elemnek van [[inverz]]e, vagyis ''S'' minden ''a'' elemére található egy ''a''<sup>−1</sup> hogy ''a'' * ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> * ''a'' = ''e'', ahol ''e'' a fenti egységelem.
* A művelet [[asszociativitás|asszociatív]], vagyis tetszőleges három elemre (''a'' * ''b'') * ''c'' = ''a'' * (''b'' * ''c'').
Továbbá ha emellett még a művelet [[kommutativitás|kommutatív]] is az ''S'' halmazon a fenti tulajdonságok mellett (''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a''), akkor a csoportot Abel-csoportnak nevezzünk.
A következő táblázatban néhány példa látható csoportokra és egyéb hasonló [[algebrai struktúrák]]ra:
{| class="wikitable"
|-
| colspan=11|Példák
|-
!Halmaz:
| colspan=2|[[Természetes számok]] <math>\mathbb{N}</math>
| colspan=2|[[Egész számok]] <math>\mathbb{Z}</math>
| colspan=4|[[Racionális számok]] <math>\mathbb{Q}</math> (hasonlóan a [[Valós számok|valós]] <math>\mathbb{R}</math> és [[Komplex számok|komplex]] <math>\mathbb{C}</math> számok)
| colspan=2|Egészek modulo 3: {0,1,2}
|-
!Művelet
| +
| × (0 nélkül)
| +
| × (0 nélkül)
| +
| −
| × (0 nélkül)
| ÷ (0 nélkül)
| +
| × (0 nélkül)
|-
!Zárt
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
|-
| Egységelem
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| -
| 1
| -
| 0
| 1
|-
| Inverz
| -
| -
| -a
| -
| -a
| -
| <math>\begin{matrix} \frac{1}{a} \end{matrix}</math>
| -
| 0,2,1 (megfelelően)
| -, 1, 2 (megfelelően)
|-
| Asszociatív
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Nem}}
| {{Igen}}
| {{Nem}}
| {{Igen}}
| {{igen}}
|-
| Kommutatív
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
| {{Nem}}
| {{Igen}}
| {{Nem}}
| {{Igen}}
| {{Igen}}
|-
| Struktúra
| [[monoid]]
| [[monoid]]
| [[Abel-csoport]]
| [[monoid]]
| [[Abel-csoport]]
| [[kvázicsoport]]
| [[Abel-csoport]]
| [[kvázicsoport]]
| [[Abel-csoport]]
| [[Abel-csoport]] (<math>\mathbb{Z}_2</math>)
|}
A csoportok elméletét a [[csoportelmélet]] vizsgálja. Ezen elmélet legnagyobb eredménye a [[véges egyszerű csoport]]ok osztályzása, mely az összes [[véges csoport]]ot közel 30 főbb osztályba sorolja. Ezen munka javát 1955 és 1983 között végezték.
A [[félcsoport]], [[kvázicsoport]] és [[monoid]] a csoporthoz hasonló, de általánosabb [[matematikai struktúra|struktúra]]. A fenti feltételek közül bizonyosakat kielégítenek, bizonyosakat nem. A [[félcsoport]]nak például nincs feltétlenül egységeleme, de asszociatív, a [[monoid]]nak van egységeleme is, de nincs minden elemnek inverze. A [[kvázicsoport]]nál van egy olyan egyváltozós művelet amely egy elemet egy másikhoz rendel hozzá, ugyanakkor a monoidhoz tartozó kétváltozós műveletnek nem kell asszociatívnak lennie. Mindegyik előbbi struktúra speciális esete a [[grupoid]]nak, mely egyszerűen halmaz kétváltozós művelettel.
=== Gyűrű és test ===
{{bővebben|Gyűrű (matematika)|Test (algebra)}}
{{lásd|Gyűrűelmélet|Testelmélet}}
A csoportokkal ellentétben szükséges olyan struktúrák bevezetése, melyeken egyszerre több művelet is értelmezett. Ezek közül a legfontosabb a  [[gyűrű (matematika)|gyűrű]] és a [[test (algebra)|test]].
A '''[[disztributivitás]]''' határozza meg általánosan a két értelmezett művelet viszonyát, sorrendjét. Általánosan  (''a'' + ''b'') × c = ''a''×''c''+ ''b''×''c'' és ''c'' × (''a'' + ''b'') = ''c''×''a'' + ''c''×''b'' jelenti azt hogy * disztributív +-ra nézve.
A ''' [[Gyűrű (matematika)|gyűrű]]''' két kétváltozós művelettel is rendelkező halmaz, melyek '+' és '*'. Az első művelet (+) szerint a halmaz ''[[Abel-csoport]]'', míg a második művelet (*) asszociatív, de nem feltétlenül van egységeleme, illetve inverze. Az additív egységet itt ''0''-val jelölik, az inverzet ''-a''-val.
A '''[[test (algebra)|test]]''' egy olyan ''gyűrű'', melyen a második művelet szerinti halmaz (a nullát nem számítva) is ''ábel csoport''ot alkot. A multiplikatív egységelemet ''1''-vel jelölik, ''a'' multiplikatív inverze ''a''<sup>−1</sup>.
Az [[egész számok]] gyűrűt, míg a [[racionális számok|racionális]], [[valós számok|valós]] és [[komplex számok|komplex]] számok testet alkotnak.
További, az ehhez a témakörhöz sorolható algebrai struktúrák közé tartozik még a [[ferdetest]], [[Gyűrű (matematika)|kommutatív gyűrű]] és [[Integritástartomány]].
== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Az algebra alaptétele]]
== További információk ==
* [https://youproof.hu/kriptografia/14-egesz-szam-szorzas-absztrakt-algebra-neutralis-elem-inverz-kivonas-gyuru-ferdetest-test Alice és Bob - 14. rész: Alice és Bob gyűrűje]
* [https://youproof.hu/kriptografia/15-rendezett-gyuru-absztrakt-algebra-egesz-szam-rendezesi-relacio-rendezesi-axiomak Alice és Bob - 15. rész: Alice és Bob az absztrakció útján]
* [https://youproof.hu/kriptografia/18-modularis-aritmetika-homomorfizmus-kongruencia-reszgyuru-ideal-maradekosztalygyuru Alice és Bob - 18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest]
* [https://youproof.hu/masodfoku-egyenlet-megoldokeplet-gyokkeplet-galois-elmelet-testbovites-csoport-geometriai-szerkeszthetoseg A megalázott géniusz, YOUPROOF]
*[http://mek.oszk.hu/10900/10940/index.phtml Algebrai példatár] (MEK)
== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}
== Források ==
* [http://algebra.lap.hu algebra.lap.hu]
* [http://www.algebrahelp.com/index.jsp Algebrahelp - angol nyelvű oldal]
* [http://mathworld.wolfram.com/topics/Algebra.html MathWorld - Algebra]
* [http://eom.springer.de/A/a011340.htm Springer Online - Algebra]
{{Portál|matematika}}
[[Kategória:Algebra]]