Belső rész (topológia) forrásának megtekintése

[[Image:Interior illustration.svg|right|thumb|Az ''x'' pont ''S'' egy belső pontja, mivel létezik olyan ''x'' középpontú nyílt gömb amelyet az ''S'' teljesen magában foglal. Az ''y'' pont ''S'' [[Határ (matematika)|határpontja]].]]
A '''belső rész''' egy [[topológia]]i fogalom. Egy ''S'' halmaz belső része azon ''S-''beli pontok [[Halmaz (matematika)|halmaz]]a amelyek nem eleme ''S ''[[Határ (matematika)|határának]]. Ezeket a pontokat ''S'' belső pontjainak hívjuk.
Ezzel ekvivalens definíció szerint ''S'' belső része az ''S ''[[Komplementer halmaz|komplementerének]] a [[Halmaz lezártja|lezártjának]] a komplementere. Ebből következően valamilyen szinten a halmazok lezártja és a belső része szorosan összetartozó fogalmak.
Egy halmaz ''külső része'' pedig megegyezik a halmaz komplementerének a belső részével, vagy másképp, a halmaz lezártjának a komplementerével. Egy halmaz külső része azon pontok halmaza, amelyek nem elemei sem a halmaznak sem a halmaz [[Határ (matematika)|határának]]. A egy halmaz belső része, a határa és a külső része a teljes topologikus teret 3 (vagy kevesebb ha valamelyik [[üres halmaz]]) diszjunkt részre particionálja. A belső rész és a külső rész mindig [[Nyílt halmaz|nyitott halmazok]] míg a határ mindig [[zárt halmaz]]. Azokat a halmazokat, amelyek belső része üres halmaz, ''határhalmazoknak'' nevezzük.<ref>{{Cite journal
 | last = Kuratowski
 | first = Kazimierz
 | authorlink = Kazimierz Kuratowski
 | title = Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs
 | url = http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3121.pdf
 | journal = Fundamenta Mathematicae
 | volume = 3
 | pages = 182–199
 | publisher = Polish Academy of Sciences
 | location = Warsaw
 | year = 1922
 | issn = 0016-2736}}</ref>
== Definíciók ==
=== Belső pont ===
Ha ''S'' egy euklideszi tér részhalmaza, akkor ''x'' az ''S'' belső pontja, ha létezik olyan [[nyílt halmaz]], amelynek ''x'' eleme és amely ''S'' részhalmaza.
Ez a definíció a [[metrikus tér]]ben értelmezett belső pont definíciójának kiterjesztése. Ha ugyanis ''X ''metrikus tér ''d ''metrikával, akkor ''x'' az ''S'' belső pontja, ha létezik ''r'' > 0, úgy, hogy az ''X'' bármely ''y'' pontjára teljesül, hogy ha ''d''(''x'', ''y'') < ''r'', akkor ''y'' eleme ''S''-nek.
A topologikus terek esetén a nyílt halmazt (gömböt) lecseréli a [[környezet (matematika)|környezet]] fogalma. Legyen ''S'' egy [[részhalmaz]]a az ''X'' [[topologikus tér]]nek. Ekkor ha ''x'' az ''S'' belső pontja, akkor létezik ''x''-nek egy környezete, amely részhalmaza ''S''-nek. Ez a definíció nem követeli meg a környezetek [[nyílt halmaz|nyitottságát]].
=== Egy halmaz belső része ===
Egy ''S ''halmaz belső része ''S ''összes belső pontjának a halmaza. A belső részt int(''S''), Int(''S''), vagy ''S''<sup>o</sup>-el jelölik. A belső részre a következők igazak:
*int(''S'') az ''S ''halmaz egy nyílt részhalmaza.
*int(''S'') az összes lehetséges nyílt halmaz uniója amelyeket ''S'' [[Részhalmaz|bennfoglal]].
*int(''S'') a legnagyobb nyílt halmaz amely részhalmaza ''S''-nek.
*Egy ''S ''halmaz nyílt akkor és csak akkor ha ''S'' = int(''S'').
*int(int(''S'')) = int(''S'') ([[idempotencia]]).
*Ha ''S ''részhalmaza ''T''-nek akkor int(S) is részhalmaza int(T)-nek.
*Ha ''A'' egy [[nyílt halmaz]] akkor, akkor és csak akkor részhalmaza ''S''-nek ha ''A ''részhalmaza int(S)-nek.
Néha a második vagy a harmadik tulajdonságot a belső rész ''definíciójaként ''használják.
== Példák ==
*Bármely térben, [[üres halmaz]] belső része üres halmaz.
*Bármely ''X ''térben ha <math> A\subset X </math> akkor <math>int(A) \subseteq A</math> ahol <math> int(A)</math> A belső része.
*Ha ''X '' az euklidészi tere az <math>\mathbb{R}</math> valós számoknak akkor <math>int([0;1]) = (0;1)</math>.
*Ha X az euklidészi tere a <math>\mathbb{R}</math> valós számoknak akkor a [[racionális számok]] <math>\mathbb{Q}</math> halmazának a belső része üres halmaz.
*Ha ''X '' a komplex számsík <math>\mathbb{C} = \mathbb{R}^2</math> akkor <math>int</math><math>(\{z\in \mathbb{C} : |z| \geq 1\}) = \{z\in \mathbb{C} : |z| > 1\}.</math>
*Bármilyen euklidészi térben a belső része bármely véges halmaznak üres halmaz.
== Belső rész operátor ==<!-- This section is linked from above -->
A belső rész operátor <sup>o</sup> "megfeleltethető" halmaz lezártjának operátorának <sup>—</sup>-nak, a következőképpen.
:''S''<sup>o</sup> = ''X'' \ (''X'' \ ''S'')<sup>—</sup>,
valamint:
:''S''<sup>—</sup> = ''X'' \ (''X'' \ ''S'')<sup>o</sup>
ahol ''X'' a [[topologikus tér]] aminek részhalmaza ''S''.
== Halmazok külső része ==
{{main|Külső rész (topológia)}}
Egy ''S ''halmaz külső részét, ha a teljes topológia ''X'', ext(''S'')-sel vagy Ext(''S'')-sel jelölik, és ez megfelel ''S ''relatív komplementerének(''X''-re nézve) a belső részének: int(''X''&nbsp;\&nbsp;''S''). Vagy másképp: ''X''&nbsp;\&nbsp;''S''<sup>—</sup>, vagyis a komplementere ''S'' lezártjának. Tulajdonságai:
*ext(''S'') egy nyílt halmaz amely diszjunkt ''S''-től.
*ext(''S'') az összes olyan nyílt halmaz uniója amelyek diszjunktak ''S''-től.
*ext(''S'') a legnagyobb nyílt halmaz amely diszjunkt ''S''-től.
*Ha ''S, ''a ''T'' egy részhalmaza, akkor ext(''S'') bennfoglalja ext(''T'')-t.
A külső rész operátor nem idempotens, de teljesül hogy:
*ext(ext(''S'')) bennfoglalja int(''S'')-t.
== Belső rész diszjunkt alakzatok ==
[[Image:Interior-disjoint.svg|thumb|A piros alakzatok nem belső rész diszjunktak a kék háromszögre nézve. A zöld és a sárga alakzatok belső rész diszjunktak a kék háromszögre nézve, de csak a sárga alakzat teljesen diszjunkt a kék háromszögtől.]]
Két alakzat ''a'' és ''b'' úgynevezett belső rész diszjunktak, ha a belső részeik metszete üres halmaz. Ezen alakzatok határaiknál lehet, hogy érintkeznek.
==Fordítás==
{{fordítás|en|Interior (topology)}}
== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Algebrai belső rész]]
* [[Jordan görbe tétel]]
==Források==
{{Reflist}}
==Külső hivatkozások==
*[http://planetmath.org/encyclopedia/%7B%7B%7Burlname%7D%7D%7D.html Interior] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/%7B%7B%7Burlname%7D%7D%7D.html |date=20070930235944 }} at PlanetMath.org
[[Kategória:Topológia]]