Fano-sík forrásának megtekintése

[[Fájl:Fano plane.svg|bélyegkép|A Fano-sík.]]
A '''Fano-sík''' az egyik legegyszerűbb [[véges geometria]]i objektum, mindössze hét pontból és hét egyenesből áll, másodrendű véges projektív sík. Jelölése ''PG(2,2)'', ahol a ''PG'' a [[projektív geometria]] rövidítése, az első kettes a geometriai dimenzió, a második pedig a geometria rendje.
== Homogén koordináták ==
A Fano-sík a legkisebb projektív sík. A lineáris algebrában a kételemű véges testhez tartozó projektív sík formájában lehet megalkotni.
[[Fájl:Fano plane Hasse diagram.svg|bélyegkép|jobbra|Dualitás a Fano-síkon. Minden pont egy egyeneshez és minden egyenes egy ponthoz tartozik.]]
A projektív sík homogén koordinátákkal való létrehozása szerint a Fano-sík pontjait hét, nullától különböző számhármassal lehet megadni: (001), (010), (011), (100), (101), (110), (111). Bármely egyenesen, amelyik a <math>p</math> és <math>q</math> pontokat tartalmazza, a harmadik pontot a kettejük kettes számrendszerbeli összegeként kaphatjuk meg. Másképpen szólva a Fano-sík a 2 elemű véges test feletti véges háromdimenziós vektortér nem nulla elemeiből áll. Ez alapján a Fano-sík egyfajta Desargues-i sík, bár olyan kicsi, hogy kizárólag degenerált konfigurációi vannak.<ref>Nem-degenerált konfigurációhoz ugyanis legalább tíz pont és tíz egyenes szükséges.</ref>
A Fano-sík egyenesei megadhatók tehát homogén koordinátákkal, méghozzá nemzéró bináris számokkal. Ennek révén megállapítható, hogy egy pont mikor van rajta egy egyenesen, nevezetesen akkor, ha a pont és az egyenes páros számú közös nemnulla elemmel rendelkezik. Például az (111) pont rajta van az (101) egyenesen, mivel két pozícióban (az elsőben és a harmadikban) mindkettő esetén 1-es jegyet találunk. A sík alatt fekvő geometria szempontjából ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a pont rajta van az egyenesen, ha a kettejüket reprezentáló vektorok belső szorzata 0.
A sík egyenesei három osztályba sorolhatóak:
* Azon egyenesek, amik azokat a pontokat tartalmazzák, amikben ugyanott van 0 számjegy. Például az (100) egyenes a (001), (010) és (011) pontokból áll. Hasonlóan kapjuk meg a (010) és a (001) egyeneseket is.
* Három egyenes esetén a pontok két-két jegye megegyezik. Az (110) egyenest például a (001), (110) és (111) pontok alkotják.
* A hetedik egyenes azokat a pontokat tartalmazza, amiknek pontosan két nemzéró jegye van.
== Szimmetriák ==
[[Fájl:Walsh permutation 136 Fano red.svg|bélyegkép|A hárombites Gray-kódhoz tartozó permutáció]]
A Fano-sík hét pontjának azon permutációit, amelyek kollineáris pontokat kollineáris pontokba visznek át, azaz megőrzik a kollinearitást, [[kollineáció|kollineációnak]], illetve a sík [[automorfizmus (csoportelmélet)|automorfizmusainak]] vagy [[szimmetria|szimmetriáinak]] nevezzük. A teljes [[kollineációcsoport]] (vagy [[automorfizmus-csoport]], vagy [[szimmetriacsoport]]) a PGL(3,2) projektív lineáris csoport, ami jelen esetben megegyezik a PSL(2,7) speciális projektív lineáris csoporttal, és egyben a GL(3,2) lineáris csoporttal is, ami, mivel csak egyetlen zéruseleme van egyenlő PGL(3,2)-vel. A csoport hat konjugált osztályt tartalmaz, minden ciklikus struktúra egyet-egyet magában definiál, az utolsó kettő pedig a 7-ciklusból származtatható:
<gallery>
Walsh permutation 124 Fano.svg|Az azonosság permutáció egy egyelemű osztályt határoz meg
Walsh permutation 421 Fano red.svg|Két 2-ciklus 21 permutációt definiál
Walsh permutation 461 Fano red.svg|42 permutáció származtatható le egy 4-ciklusból és egy 2-cikluból
Walsh permutation 425 Fano red.svg|Két 3-ciklus hoz létre 56 permutációt
Walsh permutation 436 Fano red.svg|<math>A\mapsto B</math>, <math>B\mapsto C</math>, <math>C\mapsto D</math> és ''D'' az ''A'' és ''B'' egyenesén van.
Walsh permutation 751 Fano red.svg|<math>A\mapsto B</math>, <math>B\mapsto C</math>, <math>C\mapsto D</math> és ''D'' az ''A'' és ''C'' egyenesén van.
</gallery>
A teljes permutációcsoport tehát összesen 168 elemet tartalmaz, ezeket a hárombites Walsh-permutációk között találjuk.<ref>https://en.wikiversity.org/wiki/3-bit_Walsh_permutation;_table</ref>
A [[Pólya-féle leszámlálási tétel]] szerint a Fano-síkot
:<math>\frac{1}{168}\cdot\left(n^7+21n^5+98n^3+48n\right)</math>
nem egyenértékű módon lehet ''n'' színnel kiszínezni.
== Konfiguráció ==
A Fano-sík a pontok és egyenesek specifikus elrendezéseit tartalmazza, ezek száma éppen 168, a szimmetrikus csoportjának a rendje. Ha az egyes konfigurációk számát megszorozzuk az őket változatlanul hagyó szimmetriák számával, akkor is ezt a rendet kapjuk. Lássuk hát eme nevezetes elrendezéseket!
* A síkon 7 pont van, valamint ezeket összesen 24 szimmetrikus transzformáció hagyja helyben.
* A síkon 7 egyenes és 24 ezeket önmagukba képező szimmetria van.
* A sík pontjai közül 7 módon választhatunk ki négyszöget, amelyek nincs három kollineáris pontja. Ezek a négyszögek a hét vonal komplemensei, és eszerint 24 transzformáció hagyja őket változatlanul. A vonal a négyszög átlója.
* 21 rendezetlen pontpár van, amik kölcsönösen egymásnak szimmetrikus párjai. Ezeket a párokat 8 szimmetria írja le.
* 21 darab, egy pontból és egy egyenesből álló zászló van, amiket összesen 8 szimmetria határoz meg. Mindegyik zászló azonos az azonos vonalon lévő rendezetlen pontpárral.
* 28 háromszög van a síkon, ami egy az egyben azonos a negyedrendű bitangensekkel.<ref>{{citation |last=Manivel |first=L. |doi=10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 |issue=1 |journal=Journal of Algebra |issn=0021-8693 |pages=457–486 |title=Configurations of lines and models of Lie algebras |volume=304 |year=2006}}</ref> Mindegyik háromszöget hat szimmetria rögzít, egy-egy a pontjaik minden permutációjához.
* 28 módon lehet kiválasztani egy pontot és egy rá nem illeszkedő egyenest. Ezek invariábilisek a Fano-sík hat permutációjával szemben. A pont és egyenes páron kívüli pontok egy háromszöget alkotnak.
* 28 olyan hatszög van, amiben három egymást követő pont nincs egy egyenesen, és ezeket hat szimmetria rögzíti.
* 42 rendezett pár van a síkon, amiket 4 szimmetria rögzít. Ezek a párok egymás szimmetrikus párjai.
* 42 olyan négyszög van, aminek csúcsai ciklikusan vannak rendezve. Ezeket négy szimmetria határozza meg, és két ciklikus sorrend van.
* 84 háromszöget lehet meghatározni egy-egy adott ponttal, ezeket két szimmetria erejéig rögzíthetjük.
* 84 olyan ötszög adható meg, aminek nincs három egymást követő kollineáris pontja. Ezek két szimmetria szempontjából fix helyzetűek.
* 168 rendezett ponthármas van, amik háromszöget alkotnak. Ezek mindössze az identitással szemben invariánsak, a rendezettség miatt.
== Csoportelméleti konstrukció ==
A Fano-sík megfeleltethető a <math>\left(\mathbf{Z}_{2}\right)^3</math> csoport nem zérus elemeinek. A sík egyenesei a csoport negyedrendű részcsoportjainak feleltethetőek meg, azaz a <math>\left(\mathbf{Z}_{2}\right)^2</math> csoportnak. E csoport szerkezete a sík konstrukciójánál került felírásra. A sík és a csoport automorfizmus-csoportja megegyezik, és 168 eleme van.
== Blokkrendszer ==
A Fano-sík megfelel egy szimmetrikus blokkrendszernek, aminek szerkezete 2-(7,3,1). A rendszer pontjai a sík pontjainak felelnek meg, a blokkok pedig az egyeneseknek.
== Matroidelmélet ==
A Fano-sík a [[matroid]]ok struktúraelméletének egyik fontos eleme. A Fano-sík mint minor matroid kizárásával olyan lényeges osztályok jellemzése válik lehetővé, mint a reguláris, a grafikus és a kografikus matroidok.
Ha egy egyenest három kétpontos szakaszra bontunk, akkor a "nem-Fano konfigurációt" kapjuk, amit szintén be tudunk ágyazni a síkba. Ez szintén egy fontos kizárandó példa több tétel esetén is.
== Steiner-rendszer ==
A Fano-sík, mint blokkszerkezet egy Steiner-féle hármas rendszer. Ennek megfelelően egy félcsoportra képezhető le, valamint megfelel az oktoniók egység-félcsoportjának, ha a szorzatok előjelétől eltekintünk.<ref>{{harv|Baez|2002}}</ref>
== Három dimenzióban ==
[[File:fano3space.png|thumb|PG(3,2) néhány vonal kihagyásával]]
A Fano-sík kiterjeszthető a háromdimenziós térbe, így egy projektív teret hozva létre, amit PG(3,2)-ként jelölhetünk. Ebben 15 pont van, amik összesen 35 egyenest határoznak meg, és ezekre 15 sík fektethető, így a legkisebb projektív tér. Ennek az alábbi tulajdonságai vannak:
* Minden pont 7 egyenesen és 7 síkon van rajta.
* Minden egyenest három sík tartalmaz és mindegyiknek három pontja van.
* Minden sík hét pontot és 7 egyenest tartalmaz.
* Minden sík izomorf a Fano-síkkal.
* Bármely két különböző síknak van közös egyenese.
* Egy egyenesnek és egy azt nem tartalmazó síknak pontosan egy közös pontja van.
== Lásd még ==
* [[Projektív geometria]]
* [[Erdélyi lottó]]
* [[Projektív konfiguráció]]
* [[Véges geometria]]
== Megjegyzések ==
 {{jegyzetek}}
== Források ==
*{{citation |last=Baez |first=John |authorlink=John Baez |title=The Octonions |url=http://www.ams.org/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |volume=39 |year=2002 |pages=145–205 |doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X |issue=2|arxiv=math/0105155 }} ([http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ Online HTML version])
*{{citation |last1=van Lint |first1=J. H. |last2=Wilson |first2=R. M. |year=1992 |title=A Course in Combinatorics |page=197 |publisher=Cambridge University Press}}
*{{citation |last=Manivel |first=L. |doi=10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 |issue=1 |journal=Journal of Algebra |issn=0021-8693 |pages=457–486 |title=Configurations of lines and models of Lie algebras |volume=304 |year=2006}}
*{{MathWorld|title=Fano Plane|urlname=FanoPlane}}
*{{planetmath reference|id=3510|title=Finite plane and Fano plane}}
* [[Burkard Polster]] (1998) ''A Geometrical Picture Book'', Chapter 1: "Introduction via the Fano Plane", also pp 21, 23, 27, 29, 71, 73, 77, 112, 115, 116, 132, 174, Springer {{ISBN|0-387-98437-2}}.
== Fordítás ==
*{{fordítás|en|Fano plane}}
[[Kategória:Geometria]]
[[Kategória:Projektív geometria]]
[[Kategória:Konfigurációk]]