Fermat–Catalan-sejtés forrásának megtekintése

A számelméletben a '''Fermat–Catalan-sejtés''' a [[nagy Fermat-tétel]] és a [[Catalan-sejtés]] kombinációja. Nevét is ez alapján kapta. A sejtés szerint az
{{NumBlk|::|<math>a^m + b^n = c^k\quad</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}
egyenletnek véges sok (''a'',''b'',''c'',''m'',''n'',''k'') megoldása van, ahol mindegyik szám pozitív egész, és ''a'', ''b'', ''c'' [[relatív prímek]], és az ''m'', ''n'', ''k'' hármasra
{{NumBlk|::|<math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.</math>|{{EquationRef|Eq.2}}}}.
2008-ban az ({{EquationNote|1|Eq.1}}) egyenletnek ezek a megoldási voltak ismertek:<ref name=pcm>{{citation|first=Carl|last=Pomerance|authorlink=Carl Pomerance|contribution=Computational Number Theory|pages=361–362|title=[[The Princeton Companion to Mathematics]]|editor1-first=Timothy|editor1-last=Gowers|editor1-link=Timothy Gowers|editor2-first=June|editor2-last=Barrow-Green|editor3-first=Imre|editor3-last=Leader|editor3-link=Imre Leader|year=2008|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11880-2}}.</ref>
:<math>1^m+2^3=3^2\;</math>
:<math>2^5+7^2=3^4\;</math>
:<math>13^2+7^3=2^9\;</math>
:<math>2^7+17^3=71^2\;</math>
:<math>3^5+11^4=122^2\;</math>
:<math>33^8+1549034^2=15613^3\;</math>
:<math>1414^3+2213459^2=65^7\;</math>
:<math>9262^3+15312283^2=113^7\;</math>
:<math>17^7+76271^3=21063928^2\;</math>
:<math>43^8+96222^3=30042907^2\;</math>
Ezek közül az első (1<sup>''m''</sup>+2<sup>3</sup>=3<sup>2</sup>) megoldása egyértelmű, ha ''a'', ''b'' és ''c'' egyike 1; ez a Catalan-sejtés, ma már tétel, amit 2002-ben [[Preda Mihăilescu]] igazolt. Ugyan ez az ({{EquationNote|1|Eq.1}}) egyenletre végtelen sok megoldást ad, mivel ''m'' bármilyen 6-nál nagyobb egész szám lehet, de minden ilyen megoldása viszont már egyértelmű.
A [[Faltings-tétel]] szerint minden rögzített ''m'', ''n'' és ''k'' egészre, ami eleget tesz az ({{EquationNote|2|Eq.2}}) egyenletnek, véges sok, az ({{EquationNote|1|Eq.1}}) egyenletet megoldó (''a'',&nbsp;''b'',&nbsp;''c'') relatív prím hármas létezik, de a teljes Fermat–Catalan-sejtés ennél többet állít.
Az [[abc-sejtés]] implikálja a Fermat–Catalan-sejtést.<ref name=pcm/>
A [[Beal-sejtés]] azt állítja, hogy a Fermat–Catalan-sejtés minden megoldásában szerepel a 2 mint kitevő.
==Források==
{{jegyzetek}}
{{DEFAULTSORT:Fermatcatalansejtes}}
[[Kategória:Számelmélet]]
[[Kategória:Sejtések]]
[[Kategória:Diofantoszi egyenletek]]