Lorentz-tényező forrásának megtekintése

A '''Lorentz-tényező''' számos [[speciális relativitáselmélet]]tel kapcsolatos fogalomban szerepel, mint az [[idődilatáció]], [[hosszkontrakció]] és a [[relativisztikus tömeg]].
A Lorentz-tényező a fénysebesség és az aktuális sebesség közötti összefüggésről szól.
Jelölése ''γ''.
A Lorentz-tényező [[Hendrik Lorentz]] holland fizikus után kapta a nevét.<ref>[http://www.nap.edu/html/oneuniverse/motion_knowledge_concept_12.html One universe], by [[Neil deGrasse Tyson]], Charles Tsun-Chu Liu, and Robert Irion.</ref>
<math>\gamma = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} </math>
ahol:
: <math>\beta = \frac{v}{c}</math> a fénysebességhez viszonyított sebesség,
: ''v'' az a sebesség, melyet abban a vonatkoztatási rendszerben figyelnek meg, ahol az idő: t
: ''&tau;'' a ‘helyes’ idő
: ''c'' a [[fénysebesség]]
== Megközelítések ==
A Lorentz-tényező kifejtése [[Taylor-sor]]ban:
<math>\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...</math>
A γ ≈ 1 + <sup>1</sup>/<sub>2</sub> β<sup>2</sup> közelítés kis sebességeken jelentkező relativisztikus hatás.
Ez a közelítés 1% hibát jelent v &lt; 0,4 c sebességnél (120&nbsp;000&nbsp;km/s), és 0,1%-on belüli a hiba 66&nbsp;000&nbsp;km/s sebesség alatt.
A két egyenlet:
:<math>\vec p = \gamma m \vec v </math>
:<math>E = \gamma m c^2 \,</math>
Kis sebességeken a Taylor-sor csonkított változata lehetővé teszi, hogy a speciális relativitást newtoni mechanikára redukálja:
γ ≈ 1 és γ ≈ 1 + <sup>1</sup>/<sub>2</sub> β<sup>2</sup>, ekkor a newtoni egyenletekre redukálódik:
:<math>\vec p = m \vec v </math>
:<math> E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 </math>
A Lorentz-tényező inverz kifejezésben:
: <math>\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} </math>
Ennek sorba fejtett formája:
: <math>\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{5}{128} \gamma^{-8} + ...</math>
Az első két kifejezés segítségével gyorsan kiszámíthatók a sebességek nagy γ értékektől.
A β ≈ 1 - <sup>1</sup>/<sub>2</sub> γ<sup>−2</sup> közelítés 1% hiba alatt van γ > 2 esetén, és 0,1% -n belül, ha γ > 3,5.
== Értékek ==
[[Fájl: Lorentz factor.svg|bélyegkép|300px |A Lorentz-tényező a sebesség függvényében. Ahogy a sebesség megközelíti a fénysebességet, a Lorentz-tényező végtelenhez tart.|alt=A Lorentz-tényező a sebesség függvényében.]]
Az alábbi táblázat a Lorentz-tényező értékét és annak reciprokát mutatja néhány esetben. A félkövérrel írt értékek pontosak.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Sebesség (c-ben mérve) !! Lorentz-tényező !! Reciproka
|-
! <math>\beta = v/c \,\!</math> !! <math>\gamma \,\!</math> !! <math>1/\gamma \,\!</math>
|-
| '''0.000''' || '''1.000''' || '''1.000'''
|-
| '''0.050''' || 1.001 || 0.999
|-
| '''0.100''' || 1.005 || 0.995
|-
| '''0.150''' || 1.011 || 0.989
|-
| '''0.200''' || 1.021 || 0.980
|-
| '''0.250''' || 1.033 || 0.968
|-
| '''0.300''' || 1.048 || 0.954
|-
| '''0.400''' || 1.091 || 0.917
|-
| '''0.500''' || 1.155 || 0.866
|-
| '''0.600''' || '''1.250''' || '''0.800'''
|-
| '''0.700''' || 1.400 || 0.714
|-
| '''0.750''' || 1.512 || 0.661
|-
| '''0.800''' || 1.667 || '''0.600'''
|-
| 0.866 || '''2.000''' || '''0.500'''
|-
| '''0.900''' || 2.294 || 0.436
|-
| '''0.990''' || 7.089 || 0.141
|-
| '''0.999''' || 22.366 || 0.045
|-
| '''0.99995''' || 100.00 || 0.010
|-
|}
== Gyorsaság ==
Ha th r = β, akkor γ = ch r.
Itt az r, a hiperbolikus szög, gyorsaságként ismert a relativitáselméletben.<ref>[http://pdg.lbl.gov/2005/reviews/kinemarpp.pdf Kinematics] {{Wayback|url=http://pdg.lbl.gov/2005/reviews/kinemarpp.pdf |date=20141121115205 }}, by [[J.D. Jackson]], See page 7 for definition of rapidity.</ref>
A Lorentz-transzformációt alkalmazva látható, hogy a gyorsaság additív, a sebesség viszont nem. Így a gyorsaság paraméter egy úgynevezett - fizikai modelleknél használatos - egyparaméteres csoportot alkot. Szuperlumináris mozgások tárgyalásánál γ–t néha Γ-val jelölik.
A Lorentz-tényező szerepel az [[idődilatáció]], a [[hosszkontrakció]] és a [[relativisztikus tömeg]] tárgyalásakor a [[speciális relativitáselmélet]]ben.
<!-- Ez mi akart lenni? Egy mozgó tárgy a megfigyelő szemével az eltelt idő megszorozva a gammával. -->
A hossza rövidebbnek mérhető, mely a helyi hossz osztva γ-val.
A részecskefizikában a gyorsaságot a következőképpen definiálják:<ref>Introduction to High-Energy Heavy-Ion Collisions, by [[Cheuk-Yin Wong]], See page 17 for definition of rapidity.</ref>)
::<math>y = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{E+p_L}{E-p_L}\right)</math>
== Levezetés ==
Einstein speciális relativitáselméletének egyik alapvető posztulátuma az, hogy minden inercia rendszerben a megfigyelő ugyanazt a sebességet méri a fény esetében, függetlenül az ő relatív mozgásától.
Legyen két megfigyelő (A és B):
Az első, A, állandó v sebességgel utazik a másik megfigyelő(B) vonatkoztatási rendszeréhez viszonyítva, ahol B megfigyelő nyugalomban van. A egy lézersugarat irányít “felfelé” (merőlegesen az utazás vonalára).
B perspektívájából a fény szögben érkezik be. Egy <math>t_B</math>, idő után, A <math>d = v t_B</math> távot utazott be; a fény (szintén B szemszögéből) <math>d = c t_B</math> távot tett meg egy bizonyos szögben. A fény <math>d_t</math> komponense a Pitagorasz-tétel alapján:
:<math>d_t = \sqrt{(c t _B)^2 - (v t_B)^2}</math>
:<math>d_t = c t _B\sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2} </math>
A távolság, melyet A lát, a fény útja: <math>d_t = c t_A</math>
:<math>ct_A = ct_B \sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2}</math>
majd egyszerűsítve:
:<math>t_A = t_B\sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2}</math>
== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Relativitáselmélet]]
* [[Általános relativitáselmélet]]
* [[Speciális relativitáselmélet]]
* [[Hendrik Lorentz]]
* [[Hosszkontrakció]]
* [[Idődilatáció]]
* [[Relativisztikus tömeg]]
* [[Részecskefizika]]
* [[Lorentz-transzformáció]]
== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}
[[Kategória:Relativitáselmélet]]