Polinom forrásának megtekintése

{{Matematika}}
<!-- A \,\! azért kell, hogy a formulák ne HTML, hanem PNG formában jelenjenek meg. Ne töröld ki! -->
A [[matematika|matematikában]] a '''polinom''' (avagy ''többtagú algebrai egész kifejezés'') egy olyan kifejezés, melyben csak számok és [[változó (matematika)|változók]] nemnegatív [[egész számok|egész]] kitevőjű [[hatványozás|hatványainak]] szorzatai, illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például:
:''p''(''x'',''y'',''z'',''u'') = 5''x''<sup>4</sup>''y''<sup>6</sup> - 3''xz''³+11''y''<sup>15</sup>''u''<sup>7</sup>
:''q''(''x'') = 2''x''² + 6''x'' + 9
:''r''(''x'',''y'') = ''x''³ + 3''x''²''y'' + 3''x''²''y'' + ''y''³
A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat [[monom]]oknak (avagy ''egytagú algebrai egész kifejezésnek'') nevezzük (például ''p''-nél az 5''x''<sup>4</sup>''y''<sup>6</sup>, a -3''xz''³ és a 11''y''<sup>15</sup>''u''<sup>7</sup> tagok).
== Történet ==
[[Fájl:Egyenlettort2.PNG|bélyegkép|balra|Az <math>ax+by+cz+du</math> egyenlet ábrázolása az ókori Kínában]]
[[Fájl:Egyenlettort3.PNG|bélyegkép|jobbra|Az <math>x^2+2xy+y^2+2yz+z^2+2zu+u^2+2ux</math> egyenlet ábrázolása az ókori Kínában]]
A polinom gyökeinek meghatározása, vagyis különféle algebrai egyenletek megoldása már régóta a matematika fontos problémái közé tartozik. A mai praktikus jelölések a [[15. század]]ban kezdtek el kifejlődni, addig általában az volt a szokás, hogy egy egyenletet szavakkal írtak le vagy az [[ókor]]i [[Kína|Kínában]] például a változók szerint „ábrákat” készítettek róluk.
Az egyenlőségjelet először [[Robert Recorde]] használta a [[16. század]]ban, és ugyanebben az időben terjedt el a „+” jel használata az összeadásra, valamint a „−” jel használata a kivonásra. [[René Descartes]] volt az, aki elkezdte terjeszteni azt a ma is használt jelölésmódot, hogy a konstansok leírására az [[ábécé]] elejéről választunk betűket, míg a változókhoz az [[ábécé]] végéről. És ugyancsak ő volt az, aki először felső indexbe írta egy változó [[kitevő]]jét.
==Az elemi algebrában==
Az elemi algebrában ''P(x)'' egyváltozós polinom, ha:
:<math>P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + \dotsb + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n , \quad n \ge 0</math>.
Itt ''x'' a polinom változója, ''n'' a polinom foka. Vannak többváltozós polinomok is, ezekben több változó szerepel. Egy többváltozós polinom foka az a legnagyobb szám, amit az egyes tagok tényezőinek kitevőinek összeadásával kapunk. Minden kitevőnek nemnegatív egész számnak kell lennie.
A polinom tagjaiban a számot együtthatónak, az ismeretlenekből álló szorzatot [[monom]]nak vagy egytagnak nevezik.
A nulladfokú tag együtthatója konstans tag. Az elsőfokúé lineáris, a másodfokúé kvadratikus, a harmadfokúé kubikus tag.
Általában ha egy változó az első hatványon szerepel, akkor nem szokták a kitevőbe kiírni az 1-et. A 0 fokú monomokat '''[[Konstans (matematika)|konstans]] polinom'''oknak nevezzük.
Például az
:<math>8x^3-7x^2+36\,\!</math>
egy egyváltozós, harmadfokú polinom. Az ''x'' fokszáma szerint csökkenő sorrendbe írva, az első monom foka 3, a másodiké 2, a harmadiké 0. A harmadfokú tag együtthatója 8, a másodfokúé -7, a konstans tag 36.
A valós együtthatós polinomfüggvények értelmezhetők a teljes valós számegyenesen, a komplex együtthatós polinomok pedig értelmezhetők a teljes komplex számsíkon.
Nullpolinom az a polinom, aminek összes együtthatója nulla. Ennek foka mínusz végtelen. Ha a főegyüttható egy, akkor a polinom normált.
A polinom [[szimmetrikus polinom|szimmetrikus]], ha bárhogy cseréljük fel ([[permutáció|permutáljuk]]) benne az ismeretleneket, változatlan marad.
Egy másik jellegzetes polinomfajta a ''homogén'' fokszámú polinomok, melyekben a monomok foka egyenlő. Ilyenek szerepelnek például a [[binomiális tétel]]ben:
:<math>(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\,</math>
Egyneműnek nevezünk két (vagy több) monomot, ha csak együtthatóikban különböznek. Polinomokat úgy adunk össze, hogy az egynemű egytagúak együtthatóit összeadjuk:
:<math>\begin{matrix}
p(x,y) & = & 5x^2y & + 2xy^2 & + 6 y^3\\
q(x,y,z) & = & 2x^2y & - 7xy^2 & + 8yz^6\\
& & & & \\
(p+q)(x,y,z) & = & 7x^2y & -5xy^2 & + 6y^3 & + 8yz^6
\end{matrix}</math>
Az ''n'' ismeretlenes polinomoknak az egyneműek összevonása után legfeljebb
:<math>\binom{n+k-1}{k},</math>
''k'' fokú monomja lehet.
Az egynemű monomok összevonása után az ''n''-edfokú polinomnak legfeljebb
:<math>\binom{n+k}{k}</math>
monomja lehet.
A szorzás úgy történik, hogy „minden tagot minden taggal beszorzunk” és a keletkező szorzatokban az azonos változók hatványait az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával számítjuk ki. Például
:<math>p(x,y)= x^2 +xy\,</math>
:<math>q(x,z)=3x^3-7z^2\,</math>
:<math>(p\cdot q)(x,y,z)=x^2\cdot 3x^3+x^2\cdot(-7z^2)+xy\cdot 3x^3+xy\cdot (-7z^2)=\,</math>
:::<math>=3x^5+(-7)x^2z^2+3x^4y+(-7)xyz^2\,</math>
Emellett a számmal való szorzás művelete is értelmes: minden együtthatót beszorzunk az adott számmal. Például
:<math>p(x,y) = 5x^2y + 2xy^2 + 6 y^3,</math>
:<math>3 \cdot p(x,y) = 3 \cdot 5x^2y + 3 \cdot 2xy^2 + 3 \cdot 6 y^3 = 15x^2y + 6xy^2 + 18 y^3 ,</math>
Ha <math>f, g</math> polinomok, akkor szorzatuk fokszáma becsülhető:
::<math>
\deg(f+g) \le \max(\deg f, \deg g)
</math>
Valós, illetve komplex polinomok esetén:
::<math>
\deg(f\cdot g) = \deg f + \deg g.
</math>
A polinomok halmaza zárt a helyettesítésre, azaz ha egy ismeretlenbe mindenhová polinomot helyettesítünk, akkor újra polinomot kapunk. Ez csak akkor igaz, ha a változók számát nem korlátozzuk, mert egy helyettesítés új változókat hozhat be. De ha csak a már meglevő változókat használja, akkor a változók száma megmarad.
== Gyűrű fölötti polinomok ==
[[File:Polynomialdeg0.svg|thumb|Nulladfokú (konstans) polinom, <math>f(x) = 2</math> grafikonja az ''x'' tengellyel párhuzamos egyenes]]
[[File:Polynomialdeg1.svg|thumb|Elsőfokú (lineáris) polinom, <math>f(x) =  2 - x / 2</math> grafikonja ferde egyenes]]
[[File:Polynomialdeg2.svg|thumb|Másodfokú polinom, <math>f(x) = x^2 - x - 2</math> grafikonja [[parabola (görbe)|parabola]] ]]
Polinomok tetszőleges [[Gyűrű (matematika)|gyűrű]] fölött definiálhatók, ekkor a polinom együtthatói a gyűrű elemei közül kerülnek ki. Ha ''R'' ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, ''R''-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha ''T'' [[Test (algebra)|test]], akkor T[X] végtelen dimenziós [[vektortér|vektorteret]] ''T'' felett. Ha ''T'' kommutatív test és a T[X] [[integritási tartomány]]ban ''p'' felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test. A középiskolában [[egész számok|egész]], [[racionális szám|racionális]] vagy [[valós számok|valós]] együtthatós polinomokkal találkozhatunk. Az [[algebra alaptétele|algebra alaptételében]] [[komplex számok|komplex]] együtthatós polinomokról van szó. Hasznosak még a [[kvaternió]] együtthatós (tehát lényegében [[Mátrix (matematika)|mátrix]] együtthatójú), vagy a modulo ''m'' maradékosztálybeli együtthatós (véges testbeli) polinomok is. Ha polinomgyűrű fölött veszünk polinomgyűrűt, akkor többváltozós polinomgyűrűhöz jutunk.
A változókat néha ''határozatlan''oknak nevezik. Az egyes monomokban a változók kitevőinek összege adja meg az adott '''monom fokát'''. A '''[[polinom foka|polinom fokának]]''' a benne lévő monomok fokának maximumát tekintjük.
Gyűrű fölötti polinomok esetén az összeg fokának becslésére csak akkor használható a fenti képlet, ha a gyűrű integritási tartomány. Tehát integritási tartomány fölött
::<math>
\deg(f\cdot g) = \deg f + \deg g,
</math>
általános esetben <math>\mathord\leq</math> a becslés. A szorzat fokának becslése ugyanaz, mint valós fölött.
A lineáris algebrában adott ''n''-re a legfeljebb ''n''-edfokú adott test fölötti polinomok [[vektortér|vektorteret]] alkotnak, aminek dimenziója ''n'' + 1.
A mátrixok [[karakterisztikus polinom]]ját többek között a mátrixok diagonalizálásához használják.
Ha R gyűrű, akkor R[X] is gyűrű, amit polinomgyűrűnek neveznek. Ez megkapható úgy, mint R bővítése [[algebrailag független elem]]mel. A polinomokat egyértelműen lehet jellemezni együtthatóik véges sorozatával, ahol az összeadás tagonkénti összeadás, a szorzat konvolúció, és a konstanssal (gyűrűelemmel) való szorzás is tagonként kell végezni.
:<math>a+b:=(a_n+b_n)_{n\in \N_0}</math>
és
:<math> a\cdot b:=\left(\sum_{i=0}^{n} a_ib_{n-i}\right)_{n\in \N_0}=\left(\sum_{i+j=n} a_ib_j\right)_{n\in \N_0},</math>
Ezzel a polinomgyűrű algebrát alkot. Habár ez a konstrukció nem használja a határozatlant, a behelyettesítés is értelmezhető műveletként. Ezzel behelyettesítési homomorfizmushoz jutunk. Ha az alapgyűrű kommutatív, egységelemes, nullosztómentes, akkor a polinomgyűrű is kommutatív, egységelemes, nullosztómentes lesz.<ref>compalg.inf.elte.hu/~zslang/Polinom1sima.ppt</ref>
Különböző polinomok definiálhatják ugyanazt a polinomfüggvény, különösen ha vannak nullosztók, vagy ha a test véges. Például legyen <math>R</math> a <math>\mathbb Z/3\mathbb Z=\{\bar0,\bar1,\bar2\}</math> maradékosztálygyűrű, így az <math>f,g \in (\mathbb Z/3\mathbb Z)[X]</math>
:<math>f=X(X-\bar1)(X-\bar2)=X^3-\bar3X^2+\bar2X=X^3-X</math> és a <math>g=0</math> polinomok ugyanazt a függvényt állítják elő. Végtelen integritástartomány esetén ez nem fordulhat elő.
== Számelméletük ==
{{bővebben|Polinomok számelmélete}}
== Polinomfüggvények ==
{{bővebben|Polinomfüggvény}}
<!-- Figyelem! Erre a fejezetre mutatnak a gyök fogalmával és a gyöktényezős alakkal kapcsolatos hivatkozások. Lehetőleg maradjanak itt a fogalmak, de ha átrendezed a cikket, keresd meg az ide mutató hivatkozásokat is! -->
[[File:Polynomialdeg3.svg|thumb|Harmadfokú polinom, <math>f(x) = </math><math>\frac{(x+4)(x+1)(x-2)}{4}</math> grafikonja]]
[[File:Polynomialdeg4.svg|thumb|Negyedfokú polinom, <math>f(x) = </math><math>\frac{(x+4)(x+1)(x-1)(x-3)}{14}+0{,}5</math> grafikonja]]
Ha ''R''[X] az ''R'' gyűrű feletti polinomgyűrű és ''p'' = ''p''(''x'') polinom, akkor a ''p'' által meghatározott '''polinomfüggvény'''en a
:<math>p:R\longrightarrow R;\quad x\mapsto p(x)</math>
függvényt értjük.
Példák:
1. a komplex számok feletti ''q''(''z'') = i''z''<sup>4</sup> + 3i''z'' - 5 polinom által meghatározott polinomfüggvény a
:g: '''C''' <math>\rightarrow</math> '''C'''; ''z'' <math>\mapsto </math> i''z''<sup>4</sup> + 3i''z'' - 5
függvény
2. a modulo 5 maradékosztályok feletti ''r''(''x'') = x<sup>4</sup> polinom által meghatározott polinomfüggvény a
:h: '''Z'''<sub>5</sub> <math>\rightarrow</math> '''Z'''<sub>5</sub>; ''x'' <math>\mapsto </math> ''x''<sup>4</sup>
Véges gyűrű feletti polinomfüggvény nem jelöli ki egyértelműen azt a polinomot, melyből a polinomfüggvény keletkezett. A 2. példánál ''h'' nem más, mint a
:<math>h_1(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \mbox{ ha } x=0\\
1 & \mbox{ ha } x=1,2,3,4
\end{matrix}\right.</math>
függvény éspedig a [[kis Fermat-tétel]] miatt. De ez ugyanaz, mint a ''h''<sub>2</sub>(x)= ''x''<sup>8</sup> polinomfüggvény, amely azonban más polinom által meghatározott. S míg ''x''<sup>4</sup> <math>\ne</math> ''x''<sup>8</sup> (mint polinom), addig ''h''<sub>1</sub> = ''h''<sub>2</sub>, mint függvény. Ez amiatt van, hogy míg polinomból végtelen sok van, addig ''R''-ből ''R''-be menő függvényből csak ''n''<sup>''n''</sup> db, amennyiben ''R'' számossága az ''n'' véges szám.
=== Helyettesítési érték, zérushely, gyök ===
Ha ''p'' ∈ ''R''[X] polinom és α ∈ ''R'', akkor azt mondjuk, hogy ''p'' '''helyettesítési értéke''' α-ban a β ∈ ''R'' elem, ha a ''p'' által meghatározott polinomfüggvény α-n a β-t veszi föl értékül. Ezt a következőképpen jelöljük:
:<math>p(\alpha)=\beta \,</math>
Ha ''p'' osztható az (''x'' - α) elsőfokú polinommal, azaz létezik olyan ''q'' ∈ ''R''[X] polinom, hogy
:<math>p(x)=(x-\alpha)\cdot q(x)</math>
akkor azt mondjuk, hogy α ∈ ''R'' elem '''gyöke''' a ''p'' polinomnak és hogy (x-α) '''gyöktényezője''' ''p''-nek.
Az ''x''<sub>0</sub> ∈ ''R'' elem '''zérushelye''' a ''p'' polinomnak, ha ''x''<sub>0</sub>-ben a ''p'' helyettesítési értéke 0.
'''[[Faktorizációs tétel|Bézout tétele]]''' – A ''p'' ∈ ''R''[X] polinomnak az α ∈ ''R'' elem pontosan akkor gyöke, ha zérushelye.
Test fölött nemnulla polinom gyökeinek száma legfeljebb annyi, mint a fokszáma. A komplex számok körében, vagy más [[algebrailag zárt test]] fölött ezen kívül még az is igaz, hogy egy nemkonstans polinomnak pontosan annyi gyöke van (a multiplicitással számolva) ahányadfokú a polinom. Ez az [[algebra alaptétele]].
A (multiplicitással számolva) pontosan ''n'' gyökű ''n''-edfokú polinomok felírhatók ún. '''gyöktényezős alakban''':
:<math>f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0=a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)</math>
A jobb oldali alakban <math>a_n</math> a polinom főegyütthatójának, <math>x_1,x_2, \dots, x_n </math> pedig a polinom gyökeinek felelnek meg. Végtelen gyűrű fölött teljesül a kölcsönös meghatározottság.
===Gyökök meghatározása, becslése===
Egész együtthatós polinom racionális gyökeinek meghatározásában segít a [[Rolle-féle gyöktétel]]. A jelöltek az ''x=p/q'' alakú racionális számok, ahol ''p'' és ''q'' relatív prímek, és ''p'' osztója a konstans tagnak, és ''q'' osztója a főegyütthatónak. Alacsony fokú, legfeljebb negyedfokú polinomok gyökei gyökjelekkel meghatározhatók (lásd [[megoldóképlet]]). Magasabb fokú polinomok nem oldhatók meg gyökjelekkel, ez az [[Abel-Ruffini-tétel]].
A páratlan fokú valós együtthatós polinomoknak van legalább egy valós gyökük.
Az együtthatók és a fok alapján a gyökökre valós és komplex esetben is becslést lehet adni. Valós esetben a <math>B\in\R_+</math> gyökkorlát, ha a polinom összes gyöke a <math>[-B,B]</math> intervallumban található, vagyis a gyökök abszolút értéke nem nagyobb ''B''-nél. ''B'' felső gyökkorlát, ha a polinom minden gyöke legfeljebb ''B''. Hasonlóan definiálható az alsó gyökkorlát is.
A korlátokat normált, azaz 1 főegyütthatójú polinomokra adják meg; azonban mivel a nullától különböző konstanssal való szorzás (nullosztómentes esetben) nem változtatja meg a gyököket, a gyökök becsléséhez végig lehet osztani a főegyütthatóval. Legyen ekkor <math>N=\left\{k\in\{0,1,\dotsc,n-1\}\mid a_k < 0\right\}</math> a negatív együtthatók halmaza. Ennek méretét a továbbiakban <math>|N|</math> jelöli.
*Cauchy-szabály: egy felső gyökkorlát, <math>B=\max\left\{\left.\left(|N|\cdot |a_i|\right)^{\frac{1}{n-i}}\right| i\in N\right\}</math>
*Newton-szabály: egy felső gyökkorlát, <math>B=\min\{x\in\R: f^{(i)}(x)\geq 0 \text{ minden } i=0,\dotsc,n\}</math>
*Lagrange és Maclaurin szabálya: egy felső gyökkorlát, <math>B=1+\sqrt[n-k]{\alpha}</math>, ahol <math>\alpha=\max\{|a_m|: a_m<0\}</math> a legnagyobb abszolút értékű negatív együttható abszolút értéke, és <math>k=\max\{m: a_m<0\}</math> a legmagasabb kitevős negatív együttható kitevője.
*Minden <math>B\in\R_+</math>, amire teljesül, hogy <math>B^n\geq \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|B^i</math>, gyökkorlát, ami a komplex gyökök abszolút értékét is behatárolja. Ennek speciális esetei Gerschgorin tételei:
** <math>B=1 + \max\nolimits_{i=0,\,\dotsc,\,n-1} |a_i|</math> és
** <math>B=\max\left(1, \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|\right)</math>.
Komplex gyökkorlátok esetén is a gyökök abszolútértékét határolják be. ''B'' komplex gyökkorlát, ha a polinom gyökei a nulla középpontú, ''B'' sugarú körben helyezkednek el. Egyes alkalmazásokban néhány, adott számú gyökre is értelmeznek gyökkorlátot.
Komplex gyökkorlát minden <math>B\in\R_+</math>, amire <math>|a_k|B^k\geq \sum_{i\in\{0,\dotsc,n\}\setminus\{k\}}|a_i|B^i</math> teljesül. Ekkor a nulla körüli, ''B'' sugarú kör pontosan ''k'' gyököt tartalmaz. Az egyenlet mindig megoldható <math>k=0,n</math> esetén, de a közbenső számokra nem biztos. Ez [[Rouché tétele|Rouché tételének]] következménye. <math>k=n</math> esetén a fent már említett egyenlet adódik. A <math>k=0</math> eset egy gyököktől mentes körlapot ad. Ekkor <math>1/B</math> a [[reciprok polinom]] gyökkorlátja. Ha ''f'' polinom, akkor reciprok polinomja <math>x^n f(1/x)/a_0</math>.
=== Helyettesítési érték kiszámítása: a Horner-módszer ===
{{bővebben|Horner-elrendezés}}
A gyökök meghatározása magasabb fok és irracionális gyökök esetén nem egyszerű; a [[Newton-módszer]]rel becsülhetők. Azt meghatározni azonban, hogy egy [[komplex számok|komplex szám]] gyöke-e egy adott polinomnak, létezik egy módszer, amit [[William George Horner]] angol matematikus dolgozott ki. A Horner-elrendezés arra is alkalmas, hogy segítsen a Newton-módszernek a polinom összes gyökének becslésében.
A módszer működésének megértéséhez vegyük észre, hogy a polinomok a következő alakban is felírhatók:
:<math>p(x)=(\dots(a_nx+a_{n-1})x+\dots+a_1)x+a_0</math>
Tehát egy <math>\, \!\alpha</math> komplex számról úgy tudjuk meg, hogy gyöke-e lesz-e a polinomunknak, hogy megnézzük a helyettesítési értékét az előző képlet szerint:
:<math>p(\alpha)=(\dots(a_n\alpha +a_{n-1})\alpha +\dots+a_1)\alpha +a_0</math>
A módszer lényeges eleme az ún. [[Horner-séma]] lesz, azaz hogy ezt a fenti egyenletet táblázatba rendezzük azért, hogy a számolást meg tudjuk gyorsítani:
{| {{széptáblázat}}
|
|<math>\, \!a_n</math>
|<math>\, \!a_{n-1}</math>
|<math>\, \!a_{n-2}</math>
|<math>\dots</math>
|<math>\, \!a_0</math>
|-
|<math>\, \!\alpha</math>
|<math>\, \!a_n</math>
|<math>\, \!\alpha a_n+a_{n-1}</math>
|<math>\, \!\alpha(\alpha a_n+a_{n-1})+a_{n-2}</math>
|<math>\dots</math>
|<math>\, \!p(\alpha)</math>
|}
A fölső sorban a polinom együtthatói állnak. Az alsó sor első eleme a főegyüttható lesz, majd a következő tagokat úgy képezzük, hogy az előző tagot megszorozzuk <math>\, \!\alpha</math>-val majd hozzáadjuk a soron következő együtthatót. Így tehát az alsó sor elemei megfelelnek a fenti képlet egyes zárójeleinek, tehát végül <math>\, \!a_0</math> alatt <math>\, \!\alpha</math> helyettesítési értéke áll.
Megjegyzések:
# A Horner-séma második sorában szereplő számok éppen az <math>\, \!x-\alpha</math>–val vett polinomosztás hányadosának együtthatói. Azaz ha egy gyököt megtaláltunk, szorzattá bonthatjuk a polinomunkat és az így kapott újabb polinomnak egy gyökét is próbálhatjuk megkeresni. Ezzel a módszerrel továbbhaladva eljuthatunk a polinom gyöktényezős alakjához.
# Ha <math>\, \!\alpha</math> helyettesítési értékére nem 0 jön ki akkor a kapott érték lesz az osztásunk maradéka.
Például vizsgáljuk meg, hogy a következő polinomnak gyöke-e a 3:
:<math>\, \!x^3-5x^2+11x-15</math>
A feladathoz tartozó Horner-séma:
{| {{széptáblázat}}
|
|1
| -5
|11
| -15
|-
|3
|1
|3<math>\cdot</math>1-5=-2
|3<math>\cdot</math>(-2)+11=5
|3<math>\cdot</math>5-15=0
|}
Tehát a 3 gyöke a polinomnak és az <math>\, \!x-3</math> polinommal való leosztás után szintén a táblázatból leolvasva kapjuk, hogy a hányadospolinom az <math>\, \!x^2-2x+5</math> lesz.
=== Gyökök és együtthatók közötti összefüggések ===
{{bővebben|Viète-formulák}}
Legyenek a polinom együtthatói:<math>a_n,a_{n-1},\dots a_1,a_0</math>, a gyökei pedig: <math>x_1,x_2,\dots x_n</math>. Ekkor a polinom gyökei és együtthatói között a következő összefüggések állnak fenn:
:<math>\frac{a_0}{a_n}(-1)^n=x_1x_2\dots x_n</math>
:<math>\frac{a_1}{a_n}(-1)^{n-1}=(x_1 \dots x_{n-1}+\dots+x_2 \dots x_n)</math>
:<math>\dots</math>
:<math>\frac{a_{n-2}}{a_n}(-1)^2=x_1x_2+x_1x_3+\dots+x_{n-1}x_n</math>
:<math>\frac{a_{n-1}}{a_n}(-1)=x_1+x_2+\dots+x_n</math>
Ezeket az összefüggéseket [[Viète-formulák]]nak nevezzük. Előállításuk úgy történik, hogy <math>\, \!p(x)</math> gyöktényezős alakjában elvégezzük a beszorzást és összevetjük az így kapott együtthatókat az általános felírásból adódókkal.
Másodfokú polinomokra így kapjuk meg a formulákat:
:<math>\, \!p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0=a_2(x-x_1)(x-x_2)</math>
<math>\, \! a_2x^2+a_1x+a_0=a_2x^2-a_2x(x_1+x_2)+a_2x_1x_2</math>
Ezekből adódik tehát hogy:
<math>\, \!a_1=-a_2(x_1+x_2)</math> és
<math>\, \!a_0=a_2 x_1\cdot x_2</math>
== Analízis ==
A polinomok egyszerűen [[derivált|deriválhatók]] és [[integrál]]hatók:
:: <math>P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dotsb + a_nx^n = \sum_{i=0}^{n}a_ix^i</math>
: deriváltja
:: <math>\begin{align}
P'(x) &= a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dotsb + na_nx^{n-1}\\
& = \sum_{i=1}^{n}ia_ix^{i-1} = \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)a_{i+1}x^i\,.
\end{align}</math>
:egy primtív függvénye
:: <math>\begin{align}\int P(x)\,\mathrm dx &= a_0 x + \frac{1}{2}a_1 x^2 + \frac{1}{3}a_2 x^3 + \dotsb + \frac{1}{n+1}a_n x^{n+1} \\
&= \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{i+1}x^{i+1} = \sum_{i=1}^{n+1} \frac{a_{i-1}}{i}x^i\,.
\end{align}</math>
Ezek a műveletek sem vezetnek ki a polinomok közül.
Más függvények közelíthetők polinomokkal, például [[Taylor-sor]]ral, [[interpoláció]]val, [[Bernstein-polinom]]okkal.
A valós és a komplex polinomok hatványok lineáris kombinációi, ezért lassabban nőnek, mint bármely [[exponenciális függvény]], aminek kitevője egynél nagyobb.
A páratlan fokú valós polinomok értékkészlete <math>\R</math>, azaz szürjektívek. Ha a főegyüttható pozitív, akkor <math>-\infty</math>-ből jönnek, majd ingadoznak egy szakaszon, utána <math>+\infty</math>-be mennek. Ha a főegyüttható negatív, akkor <math>+\infty</math>-ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd <math>-\infty</math>-be mennek.
A páros fokú polinomok értékkészlete pozitív főegyütthatóval <math> \left[y_\mathrm{min},\,\infty\right[ </math>, és negatív főegyütthatóval <math> \left]-\infty,\,y_\mathrm{max}\right]</math>. Menetük: pozitív főegyütthatóval <math>+\infty</math>-ből érkeznek, ingadoznak egy szakaszon, majd <math>+\infty</math>-be mennek. Negatív főegyütthatóval <math>-\infty</math>--ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd <math>-\infty</math>-be mennek.
A polinomok végtelen sorok formájában függvények közelítésénél is használatosak. Ekkor a függvényeket [[Taylor-sor]]ba fejtve kapunk hozzájuk határértékben tartó hatványsorokat. Ha ezeknek a végtelen soroknak csak véges alakjait tekintjük, akkor beszélünk '''Taylor-polinomokról'''.
Két a racionális számok teste feletti polinom hányadosát racionális függvénynek vagy [[integrálszámítás#speciális integrálási módszerek|racionális törtfüggvénynek]] hívjuk. Ezeknek az integrálása az [[integrálszámítás]] egyik alapváltozata. A művelet elvégzéséhez a parciális törtekre bontás módszerét szükséges alkalmazni.
== Interpoláció ==
Az [[interpoláció]] módszerének segítségével <math>\, \!n</math> különböző komplex számpárra, vagyis <math>n</math> pontra a komplex számsíkon egyértelműen illeszthető (''n''–1)-edfokú polinom, amely áthalad a megadott pontokon.
=== Bizonyítás ===
Legyenek az adott pontpárok a következők: <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots (x_n,y_n)</math>. Először az egyértelműséget igazoljuk. Ha <math>\, \!p(x)</math> és <math>\, \!q(x)</math> két a feltételeknek eleget tevő polinom, akkor <math>\, \!p(x)-q(x)</math> egy olyan legfeljebb (<math>\, \!n-1</math>)-ed fokú polinom, amelynek <math>x_1,x_2,\dots ,x_n</math> gyöke. Az [[algebra alaptétele]] szerint ez csak akkor lehetséges, ha <math>p(x)-q(x)\equiv 0</math>, vagyis <math>\, \!p(x)=q(x)</math>.
Most konstruáljunk meg egy ilyen polinomot [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] módszerével. Ehhez konstruáljuk meg az ún. Lagrange-féle alappolinomokat:
::<math>l_i(z)=\frac{(z-x_1)\dots (z-x_{i-1})(z-x_{i+1})\dots (z-x_n)}{(x_i-x_1)\dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)}=\prod_{j=1}^{n}{\frac{(z-x_j)}{(x_i-x_j)}}</math>
Ezekre <math>\, \!l_i(x_i)=1</math> és <math>\, \!l_i(x_j)=0</math>, ha <math>i\ne j</math>.
Tehát a <math>p(z)= \sum_{i=1}^n y_i l_i(z)</math> polinom teljesíti a feltételeket.
=== Példa ===
Legyenek a pontok a következők: (-1;1), (0;2), (1;4); ekkor ezek lesznek a Lagrange-féle alappolinomok:
<math>l_1(x)=\frac{(x-0) (x-1)}{(-1-0)(-1-1)}=\frac {1}{2}(x^2-x)</math>
<math>l_2(x)=\frac{(x+1) (x-1)}{(0+1)(0-1)}= -1(x^2-1)</math>
<math>l_3(x)=\frac{(x+1) (x-0)}{(1+1)(1-0)}=\frac {1}{2}(x^2+x)</math>
Ekkor a feltételeket kielégítő polinom ez lesz:
<math>p(x)=1\cdot \left(\frac {1}{2}(x^2-x)\right)+2\cdot (-1(x^2-1))+4\cdot \left(\frac {1}{2}(x^2+x)\right) = \frac {1}{2}x^2 + \frac {3}{2}x +2</math>
==Általánosítások==
A [[hatványsor]]ok alakja:
:<math>f = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i</math>
Ha nem foglalkozunk a konvergenciával, akkor a hatványsor formális, ami nem mindig állít elő függvényt. Ha egy bizonyos tartományon (nemcsak egy pontban) konvergens, és előállítja a függvényt, akkor egy analitikus függvényhez jutunk, amit újra vizsgálni lehet.
A [[Laurent-sor]]ok alakja:
:<math> f = \sum_{i=-N}^\infty a_i X^i.</math><br />
A Laurent-sorok a hatványsorokhoz hasonlóan vizsgálhatók.
Ha az összeg véges, de a monomokban tetszőleges valós hatványkitevőket megengedünk, akkor [[poszinomiális függvény]]ekhez jutunk.
== További információk ==
* [https://youproof.hu/kriptografia/26-polinom-primitiv-gyok-carmichael-szam-korselt-kriterium-miller-rabin-primteszt Alice és Bob - 26. rész: Alice és Bob átlépi a célvonalat]
== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}
== Források ==
{{commonskat|Polynomial}}
* Horváth Erzsébet: ''Lineáris algebra'' (Műegyetemi Kiadó, 2002)
* Konsztantyin Alekszejevics Ribnyikov: ''A matematika története'' (Tankönyvkiadó, Budapest, 1968)
* Nagy Attila (BME-TTK) ''Lineáris algebra'' c. előadásai
* Beutelspacher: ''Lineare Algebra.'' 6. Auflage.
* Holz, Wille: ''Repetitorium der Linearen Algebra, Teil 2.''
* Gerd Fischer: ''Lehrbuch der Algebra.''
==Fordítás==
{{fordítás|de|Polynom}}
{{Portál|matematika||}}
[[Kategória:Polinomok]]
[[Kategória:Függvények]]