Sík (geometria) forrásának megtekintése

[[Fájl:Koordinatenebenen.png|right|thumb|A 3 [[koordinátasík]]]]
A '''sík''' a [[geometria|geometriában]], azon belül tipikusan a kétdimenziós [[síkgeometria|síkgeometriában]] és a három[[dimenzió]]s [[térgeometria|térgeometriában]] fontos fogalom. Leírása, és nem definíciója szerint végtelenül kiterjedt, kétdimenziós objektum.
Ha egy egy sík egy egyenes két pontját tartalmazza, akkor a sík a teljes egyenest tartalmazza.
Konkrétabban a matematika különböző részterületei különböző objektumokat tekintenek síknak.
== Definíciója ==
[[Euklidész]] az ''Elemek''ben (az [[egyenes]]hez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: ''Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van'', és csak ezután határozza meg a síkot: ''Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik''. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.
== Jellemzése ==
Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:
* Kétdimenziós objektum,<ref>Az ''n''-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (''n''–1)-dimenziós '''hipersík'''ok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete <math>ax+by+c=0</math> alakú!</ref> azaz két, egymástól különböző irányban végtelen, a harmadik irányban 0 a kiterjedése.
* Három nem kollineáris<ref>Nem egy egyenesre illeszkedő.</ref> pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
* Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.
==Önálló objektum==
[[Fájl:Fano plane.svg|right|thumb|A legkisebb projektív sík (hét pont, hét egyenes)]]
[[Fájl:4punktsmodell.svg|right|thumb|A legkisebb affin sík (négy pont, hat egyenes)]]
===Klasszikus síkfogalom===
A klasszikus geometriában az (euklideszi) sík geometriai vizsgálatok tárgya, például abból a szempontból, hogy milyen alakzatok szerkeszthetők meg körzővel és vonalzóval. A sík (ebben az összefüggésben határozott névelővel, mint ami nincs magasabb dimenzióba ágyazva) a rajzlap absztrakciója, ami végtelenül lapos és végtelenül kiterjedt; ahogy az egyenes a ceruzával vagy más eszközzel meghúzott vonal végtelenül vékony és végtelenül hosszú absztrakciója. A modern geometriát a [[Hilbert-féle axiómarendszer]] írja le.
[[René Descartes|Descartes]] óta a sík azonosítható a valós számok rendezett párosaival, <math>\mathbb R^2</math>-tel. Más szóval,  <math>\mathbb R^2</math> a Hilbert-féle geometria modellje. Ezt a valós vektorteret is nevezik síknak.
===Projektív sík===
A [[projektív sík]] megkapható úgy, hogy egyeneseinek párhuzamos nyalábjaihoz hozzáveszünk egy-egy végtelen távoli pontot, és ezek halmazát a sík végtelen távoli egyenesének tekintjük.
Az így kapott projektív sík is leírható algebrailag: homogén valós számhármasokat veszünk. Itt a homogén szó azt jelenti, hogy ha egy számhármas minden tagját ugyanazzal a nullától különböző valós számmal szorozzuk, akkor az új hármas ugyanazt a pontot adja meg, mint a régi. Ugyanezek a hármasok írják le <math>\mathbb R^3</math> egydimenziós altereit; azaz a projektív sík pontjai azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő egyeneseivel. A projektív sík egyenesei hasonlóan azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő síkjaival.
===Általánosítások===
Ha gyengítjük a Hilbert-féle axiómákat, például lehetővé tesszük a végességet, akkor véges struktúrákhoz jutunk, melyeket affin vagy projektív síkoknak nevezünk. A legkisebb projektív sík hét pontot és hét egyenest tartalmaz. Tetszőleges egyenes és annak pontjainak eltávolításával affin síkhoz jutunk, négy ponttal és hat egyenessel.
A Descartes-féle modell általánosításában ahelyett, hogy a valós számokkal koordinátáznánk a síkot, egy tetszőleges <math>K</math> [[test (algebra)|testet]] használunk. Így jutunk a  <math>K^2</math> kétdimenziós vektorterekhez, melyek [[affin sík]]okat írnak le. A  <math>K^3</math> affin terek segítségével pedig projektív síkok írhatók le. Azonban belátható, hogy nem minden projektív sík írható le ezzel a módszerrel.
Ha  <math>K=\Complex</math>, akkor meg kell jegyeznünk, hogy a komplex számok valós értelemben már maguk kétdimenziós teret alkotnak. Így a komplex egyenes kétdimenziós, a komplex sík négydimenziós, azonban csak kétdimenziós komplex vektortér. Ha <math>K</math> véges, akkor véges síkokhoz jutunk. Ha például <math>K=\mathbb F_2</math>, akkor a fent leírt legkisebb projektív, illetve affin síkokhoz jutunk.
[[Topológia]]i értelemben a sík csak <math>K=\R</math> esetén felület. A <math>K=\mathbb C</math> esetben komplex felület.
== Sík megadása az analitikus geometriában ==
[[Fájl:Plane equation qtl6.svg|thumb|A sík egyenlete]]
[[Fájl:Plane equation qtl1.svg|thumb|A sík paraméteres egyenlete]]
[[Fájl:PlaneIntersection.png|right|thumb|Két metsző sík]]
Egy sík egyenlete egy olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon. Az egyenlet különböző alakokat ölthet, attól függően, hogy mely adatokból számították ki.
Legyen <math>(x_0, y_0, z_0)</math> a sík egy pontja és egy <math>(a, b, c)</math> ''normálvektor.''<ref>Olyan [[vektor]], ami merőleges a síkra. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz <math>a^2+b^2+c^2=1</math>. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.</ref> Ekkor a sík egyenlete:
:<math>ax + by + cz = d</math>
ahol a ''d'' [[Konstans (matematika)|konstans]] a következőképpen adódik:
:<math>d = ax_0 + by_0 + cz_0</math>
A sík egyenlete a [[skaláris szorzat]] fogalmát felhasználva is megfogalmazható:
: <math>\langle {\mathbf (x, y, z)},{\mathbf (a, b, c)}\rangle = d</math>
A tengelymetszeti egyenlet alakja:
:<math>\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} = 1</math>
ahol <math>(x_0,0,0)</math>, <math>(0,y_0,0)</math> és <math>(0,0,z_0)</math> a sík koordinátategelyekkel vett metszéspontjai. Ha a sík párhuzamos valamelyik tengellyel, akkor az egyenletben nem szerepel az annak megfelelő koordinátát tartalmazó term.
A sík paraméteres egyenlete:
:<math>\vec x = \vec p + s \vec u + t \vec v</math> &nbsp; &nbsp; <math>s,t \in \R</math>
alakú, ahol <math>\vec p</math> támaszvektor, <math>\vec u</math> és <math>\vec v</math> irányvektorok. A <math>\vec p</math> pont a sík tetszőleges pontja,  <math>\vec u</math> és <math>\vec v</math> párhuzamosak a síkkal úgy, hogy nem konstansszorosai egymásnak. Az irányvektorok affin koordináta-rendszert feszítenek ki, amiben <math>(s, t)</math> a sík pontjainak koordinátái.
A sík hárompontos egyenlete
:<math>\vec x = \vec p + s (\vec q - \vec p) + t (\vec r - \vec p)</math> &nbsp; &nbsp; <math>s,t \in \R</math>
alakú, ahol <math>\vec p</math>, <math>\vec q</math> és <math>\vec r</math> a sík egymástól különböző pontjai, melyek nincsenek egy egyenesen.
A sík normálegyenlete
:<math>( \vec x - \vec p ) \cdot \vec n = 0</math>
alakú, ahol <math>\vec p</math> a sík támaszvektora, és <math>\vec n</math> normálvektor. A skaláris szorzat pontosan akkor nulla, ha a normálvektor merőleges a sík pontjának, mint normálvektornak és a támaszpont, mint helyvektornak különbségére. A sík feszítő vektoraira teljesül, hogy <math>\vec n = \vec u \times \vec v</math>.
A sík Hesse-féle normálegyenlete
:<math>\vec x \cdot {\vec n}_0 = d</math>
alakú, ahol <math>{\vec n}_0</math> egységnyi hosszú, a sík irányába mutató normálvektor, és <math>d</math> a sík távolsága az origótól.
Magasabb dimenziós terekben a sík lineáris 2-sokaság az <math>\R^n</math> <math>n</math>-dimenziós térben. A fenti implicit alakban adott egyenletek ezekben a terekben hipersíkokat írnak le. A síkok egyenletrendszere <math>n-2</math> egyenletből álló egyenletrendszerrel írható le, mivel ennyi hipersík metszetéből áll elő. Ezeknek a hipersíkoknak egymástól független normálvektorai kellenek, hogy legyenek.
==Metszéspontok háromdimenziós térben==
[[Fájl:Schnittp-ger-eb-s.svg|thumb|Egyenes és sík metszete]]
===Egyenes és sík metszete===
A térben az egyeneseket rendszerint <math> (x(t),y(t),z(t)) </math> paraméterábrázolással, a síkokat  <math>ax+by+cz=d</math> egyenlettel írják le. Behelyettesítve az egyenes paraméteres ábrázolását a sík egyenletébe adódik az
: <math>ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,</math>
lineáris egyenlet a metszéspont <math>t_0</math> paraméterére. Ha az egyenletnek nincs megoldása, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal. Ha az egyenletnek minden <math>t\in \R</math> megoldása, akkor az egyenes a síkban van.<ref name=":0">[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)]</ref>
===Három sík metszéspontja===
Ha az egyenes két sík metszeteként van megadva, és keressük a metszéspontját egy síkkal, akkor három sík metszéspontját kell meghatározni.
Legyenek a síkok <math>\varepsilon_i: \ \vec n_i\cdot\vec x=d_i, \ i=1,2,3 </math>! Ha <math> \vec n_1,\vec n_2, \vec n_3</math> normálvektoraik lineárisan függetlenek, akkor a metszéspont
: <math> \vec p_0=\frac{d_1(\vec n_2\times \vec n_3) +d_2(\vec n_3\times \vec n_1) + d_3(\vec n_1\times \vec n_2)}{\vec n_1\cdot(\vec n_2\times \vec n_3)} \ .</math>
A bizonyításhoz vegyük figyelembe, hogy <math>\vec n_i\cdot\vec p_0=d_i, \ i=1,2,3 , </math> és a skaláris szorzásra vonatkozó szabályokat.<ref name=":0" />
==Pont és sík távolsága==
A <math> \vec{p_0} = (x_0, y_0, z_0)</math> pont és az <math> ax + by + cz + d = 0</math> egyenletű sík távolsága:
:<math> \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}</math>
Ha a sík adott a <math> \vec{p_1} = (x_1, y_1, z_1)</math>, <math> \vec{p_2} = (x_2, y_2, z_2)</math>, <math> \vec{p_3} = (x_3, y_3, z_3)</math> pontokkal, akkor a távolság számítható a
:<math> \frac{(\vec{p_2} - \vec{p_1}) \times (\vec{p_3} - \vec{p_1})}{\left|(\vec{p_2} - \vec{p_1}) \times (\vec{p_3} - \vec{p_1})\right|} \cdot (\vec{p_0} - \vec{p_1})</math>
képlettel, ahol  <math> \times</math> jelöli a vektoriális szorzatot,  <math> \cdot</math> a skaláris szorzatot, és <math> \left| \quad \right|</math> egy vektor hosszát. Alternatív módszerként el lehet végezni az
:<math> a = y_1z_2 - y_2z_1 + y_2z_3 - y_3z_2 + y_3z_1 - y_1z_3</math>
:<math> b = z_1x_2 - z_2x_1 + z_2x_3 - z_3x_2 + z_3x_1 - z_1x_3</math>
:<math> c = x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_3 - x_3y_2 + x_3y_1 - x_1y_3</math>
:<math> d = x_1y_2z_3 - x_1y_3z_2 + x_2y_3z_1 - x_2y_1z_3 + x_3y_1z_2 - x_3y_2z_1</math>
helyettesítést.<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/Point-PlaneDistance.html Point-Plane Distance]</ref>
== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}
==Források==
* {{cite book|author=Steffen Goebbels, Stefan Ritter|title=Mathematik verstehen und anwenden|publisher=Springer|year=2011|ISBN=978-3-827-42762-5}}
* {{cite book|author=Lothar Papula|title=Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler|publisher=Springer|year=2009|ISBN=978-3-834-89598-1}}
* {{cite book|author=Thomas Westermann|title=Mathematik für Ingenieure|publisher=Springer|year=2008|ISBN=978-3-54077-731-1}}
==Fordítás==
{{fordítás|de|Ebene (Mathematik)}}
{{fordítás|de|Ebenengleichung}}
== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Hilbert-féle axiómarendszer]]
* [[Koordinátageometria]]
{{Nemzetközi katalógusok}}
{{Portál|Matematika}}
{{DEFAULTSORT:Sik}}
[[Kategória:Abszolút geometria]]
[[Kategória:Euklideszi geometria]]
[[Kategória:Analitikus geometria]]