Schur-egyenlőtlenség forrásának megtekintése

A '''Schur-[[egyenlőtlenség]]''', melyet [[Issai Schur]]ról neveztek el, azt mondja ki, miszerint minden nemnegatív [[valós számok|valós]] ''x'', ''y'', ''z''-re és [[negatív és nemnegatív számok|pozitív]] ''t''-re,
:<math>x^t (x-y)(x-z) + y^t (y-z)(y-x) + z^t (z-x)(z-y) \ge 0</math>,
ahol az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha ''x = y = z'' vagy kettő egyezik és a harmadik 0. Ha ''t'' egy páros pozitív egész, akkor az egyenlőtlenség minden ''x'', ''y'', ''z'' valósra teljesül.
Amikor <math>t=1</math>, a következő közismert egyenlőtlenséget kaphatjuk:
:<math>x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz \geq xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z)</math>
== Bizonyítás ==
Mivel az egyenlőtlenség szimmetrikus ''x, y, z''-re, vehetjük úgy, hogy <math> x \geq y \geq z</math>. Ekkor a
: <math>(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z) \geq 0\,</math>
egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül, hiszen minden tagja legalább 0. Ez pedig átrendezhető a Schur-egyenlőtlenségre.
== Általánosítás ==
A Schur-egyenlőtlenség egy általánosítása a következő:
Legyenek ''a, b, c'' pozitív valós számok. Ha ''(a,b,c)'' és ''(x,y,z)'' ugyanúgy rendezettek, akkor:
:<math>a (x-y)(x-z) + b (y-z)(y-x) + c (z-x)(z-y) \ge 0.</math>
2007-ben [[Valentin Vornicu]] román matematikus megmutatta, miszerint az alábbi, még általánosabb egyenlőtlenség teljesül:
Legyen <math>a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}</math>, ahol <math>a \geq b \geq c</math>, és vagy <math>x \geq y \geq z</math> vagy <math>z \geq y \geq x</math>. Legyen <math>k \in \mathbb{Z}^{+}</math>, és legyen <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}</math> vagy [[konvex és konkáv függvény|konvex]] vagy [[monoton függvény|monoton]]. Ekkor,
: <math>{f(x)(a-b)^k(a-c)^k+f(y)(b-a)^k(b-c)^k+f(z)(c-a)^k(c-b)^k \geq 0}.\,</math>
Ezen egyenlőtlenség azon formája, mely a Schur-egyenlőtlenséget adja: ''x'' = ''a'', ''y'' = ''b'', ''z'' = ''c'', ''k'' = 1, ƒ(''m'') = ''m''<sup>''r''</sup>.
== Fordítás ==
*{{fordítás|en|Schur's inequality}}
[[Kategória:Egyenlőtlenségek]]