Schwinger–Dyson-egyenlet forrásának megtekintése

[[Fájl:Freeman_Dyson.jpg|bélyegkép| Freeman Dyson 2005-ben]]
A '''Schwinger–Dyson-egyenletek''' általános összefüggések a [[kvantumtérelmélet]]ben (QFT) lévő [[korrelációs függvény]]ek között. Az egyenleteket a kvantumelektrodinamika két meghatározó kutatójáról, Julian Schwingerről és Freeman Dysonról nevezték el. A Schwinger−Dyson-egyenletek a kvantumtérelméletbeli megfelelői a klasszikus elméletben használt [[Euler–Lagrange-egyenlet]]eknek. Azonban fontos megjegyezni, hogy az Euler−Lagrange-egyenletek "csak" valós parciális differenciálegyenletek, míg az SD-egyenletek operátorértékű eloszlásokra vonatkozó funkcionálegyenletek egy végtelen dimenziós [[Hilbert-tér]]ben.
Dyson "The S-Matrix in Quantum electrodynamics" <ref name="Dyson49">{{Cite journal|author=F. Dyson|year=1949|title=The S Matrix in Quantum Electrodynamics|journal=Phys. Rev.|volume=75|issue=11|pages=1736|doi=10.1103/PhysRev.75.1736}}</ref> (Az S-mátrix a kvantumelektrodinamikában) című tanulmányában  perturbatív kvantumelekrodinamikai megközelítésből indult ki. A levezetésben végtelen sok [[Feynman-gráf|Feynman-diagram]] összegzésével származtatott összefüggéseket a különböző a Heisenberg-féle S-mátrixelemek – vagy más néven egy-részecske Green-függvények – között. Schwinger [[Variációszámítás|a variációs elvéből]] kiindulva egy egyenletrendszert állított fel a kvantumtérelméleti Green-függvényekre nem-perturbatív módon, <ref name="Schwinger51">{{Cite journal|author=J. Schwinger|year=1951|title=On Green's functions of quantized fields I + II|journal=PNAS|volume=37|issue=7|pages=452–459|doi=10.1073/pnas.37.7.452|pmc=1063400|pmid=16578383}}</ref> amelyek a Dyson-egyenleteket  a [[Kvantumtérelmélet|kvantumtérelméleti]] Green-függvényekre vett általánosításai, és amit Schwinger–Dyson-egyenleteknek nevezünk. A Schwinger és Dyson által kidolgozott megközelítés a relativisztikus kvantumtérelmélet nem-perturbatív módszerei közé tartozik, és az elméleti fizika számos területén, mint például [[Szilárdtestfizika|a szilárdtestfizikában]] és [[Részecskefizika|az elemi részecskefizikában]] is megtalálhatók az alkalmazásai.
Schwinger egy másik egyenletet is levezetett a kétrészecske irreducibilis Green-függvényekre, amelyre manapság inhomogén Bethe–Salpeter-egyenletként hivatkozunk.
== Levezetés ==
Legyen adott egy polinomiális korlátos [[funkcionál]] <math>F</math> a tér konfigurációk felett, majd legyen ennek bármely [[Kvantumállapot|állapotvektorra]] (amely a QFT megoldása) <math>|\psi\rangle</math>, ekkor érvényes a
: <math>\left\langle\psi\left|\mathcal{T}\left\{\frac{\delta}{\delta\varphi}F[\varphi]\right\}\right|\psi\right\rangle = -i\left\langle\psi\left|\mathcal{T}\left\{F[\varphi]\frac{\delta}{\delta\varphi}S[\varphi]\right\}\right|\psi\right\rangle</math>
összefüggés, ahol <math>S</math> a [[Hatáselv|hatásfunkcionál]] és <math>\mathcal{T}</math> az időrendezés.
Kifejezés megadható ekvivalens módon [[Sűrűségmátrix|sűrűségállapot]]-formalizmusban. Legyen  adott bármely (érvényes) sűrűségi állapot <math>\rho</math>, ekkor a Schwinger–Dyson-egyenlet
: <math>\rho\left(\mathcal{T}\left\{\frac{\delta}{\delta\varphi}F[\varphi]\right\}\right) = -i\rho\left(\mathcal{T}\left\{ F[\varphi] \frac{\delta}{\delta\varphi}S[\varphi]\right\}\right).</math>
Ezen egyenletek végtelen halmaza megadja a relativisztikus kvantumtérelméleti  korrelációs függvények nem perturbatív megoldását.
Érdemes átalakítani az egyenleteket, megmutatva a Feynman-diagrammokal való kapcsolatot, a jobb megértés érdekében. Az <math>S</math>-operátor felbontható, mint
: <math>S[\varphi] = \frac{1}{2}\varphi^{i}D^{-1}_{ij}\varphi^{j} + S_{\text{int}}[\varphi],</math>
ahol az első tag a kvadratikus rész, ahol <math>D^{-1}</math> egy invertálható szimmetrikus (fermionokra antiszimmetrikus) kovariáns tenzor. A <math>D</math>-t csupasz (bare, vagy Feynman) propagátornak nevezzük és <math>S_{\text{int}}[\varphi]</math> fejezi ki az extra kölcsönhatást. A felbontást követően átírhatjuk az SD-egyenleteket a következőképpen:
: <math>\langle\psi|\mathcal{T}\{F \varphi^j\}|\psi\rangle=\langle\psi|\mathcal{T}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{\text{int},i}D^{ij}\}|\psi\rangle.</math>
Ha az <math>F</math> a <math>\varphi</math> mező funkcionálja, akkor <math>F[\varphi]</math>definicíó szerint megadható a követkő módon.
: <math>F[\varphi]=\frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\varphi(x_1)\cdots \frac{\partial^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\varphi(x_n)</math>
és <math>G</math> funkcionálja <math>J</math>-nek, akkor
: <math>F\left[-i\frac{\delta}{\delta J}\right]G[J]=(-i)^n \frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac{\delta}{\delta J(x_1)} \cdots \frac{\partial^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\frac{\delta}{\delta J(x_n)} G[J].</math>
Ha létezik a <math>J</math> forrásmezőnek egy [[Valós analitikus függvény|analitikus]] (a függvény előállítható egy lokálisan konvergens hatványsorból) <math>Z</math> funkcionálja generátor fukncionál), akkor definíció szerint felírható a következő egyenlet
: <math>\frac{\delta^n Z}{\delta J(x_1) \cdots \delta J(x_n)}[0]=i^n Z[0] \langle\varphi(x_1)\cdots \varphi(x_n)\rangle,</math>
ekkor a funkcionális integrálok tulajdonságaiból felírható a
: <math>{\left \langle \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi(x)}\left[\varphi \right] + J(x)\right\rangle}_J=0</math>
egyenlet. A generátor funkcionálra vett Schwinger–Dyson-egyenlet pedig a következő lesz
: <math>\frac{\delta S}{\delta \varphi(x)}\left[-i \frac{\delta}{\delta J} \right] Z[J] + J(x)Z[J]=0.</math>
Ha ezt az egyenletet [[Taylor-sor|Taylor-sorozatba]] fejtjük a <math>J = 0</math>-ban, akkor megkapjuk a Schwinger–Dyson-egyenleteket
== Példa: ''φ''<sup>4</sup> elmélet ==
Például tegyük fel, hogy a hatás a következő módon néz ki
: <math>S[\varphi]=\int d^dx \left (\frac{1}{2} \partial^\mu \varphi(x) \partial_\mu \varphi(x) -\frac{1}{2}m^2\varphi(x)^2 -\frac{\lambda}{4!}\varphi(x)^4\right )</math>
ahol ''φ''  egy valós mező. Ekkor a mező szerinti derivált,
: <math>\frac{\delta S}{\delta \varphi(x)}=-\partial_\mu \partial^\mu \varphi(x) -m^2 \varphi(x) - \frac{\lambda}{3!}\varphi^3(x).</math>
A Schwinger–Dyson-egyenlet pedig ehhez a konkrét példához a következő lesz:
: <math>i\partial_\mu \partial^\mu \frac{\delta}{\delta J(x)}Z[J]+im^2\frac{\delta}{\delta J(x)}Z[J]-\frac{i\lambda}{3!}\frac{\delta^3}{\delta J(x)^3} Z[J] + J(x)Z[J] = 0</math>
Vegyük figyelembe, hogy mivel a
: <math>\frac{\delta^3}{\delta J(x)^3}</math>
nem pontosan meghatározott, mert
: <math>\frac{\delta^3}{\delta J(x_1)\delta J(x_2) \delta J(x_3)} Z[J]</math>
egy disztribúciója a <math>x_1</math>, <math>x_2</math> és <math>x_3</math>-nak. Ezért az egyenletet regularizálni kell.
Ebben a példában a D csupasz propagátor a  <math>-\partial^\mu \partial_\mu-m^2</math>  Green-függvénye így a Schwinger–Dyson-egyenletek a következők lesznek:
: <math>
\begin{align}
& \langle\psi\mid\mathcal{T}\{ \varphi(x_0) \varphi(x_1)\} \mid \psi\rangle \\[4pt]
= {} & iD(x_0,x_1) +\frac{\lambda}{3!}\int d^dx_2 \, D(x_0,x_2) \langle \psi \mid \mathcal{T} \{\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_2)\varphi(x_2)\} \mid \psi\rangle
\end{align}
</math>
és
: <math>
\begin{align}
& \langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_0) \varphi(x_1) \varphi(x_2) \varphi(x_3)\} \mid \psi\rangle \\[6pt]
= {} & iD(x_0,x_1)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_2)\varphi(x_3)\}\mid\psi\rangle + iD(x_0,x_2)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_1)\varphi(x_3)\}\mid\psi\rangle \\[4pt]
& {} + iD(x_0,x_3)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_1)\varphi(x_2)\}\mid\psi\rangle \\[4pt]
& {} + \frac{\lambda}{3!}\int d^dx_4 \, D(x_0,x_4)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_3)\varphi(x_4)\varphi(x_4)\varphi(x_4)\}\mid\psi\rangle
\end{align}
</math>
stb.
(Hacsak nincs [[spontán szimmetriasértés]], a páratlan korrelációs függvények eltűnnek.)
== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}
== Fordítás ==
{{Fordítás|en|Schwinger-Dyson equation|oldid=1263774447}}
== További információk ==
Nem sok könyv foglalkozik a Schwinger–Dyson-egyenletekkel. Íme három szabványos hivatkozás:
* {{Hivatkozás/Könyv |last=Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber |title=Quantum Field Theory |url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000itzy |year=1980 |publisher=[[McGraw-Hill]] |isbn=9780070320710}}
* {{Hivatkozás/Könyv |last=R.J. Rivers |title=Path Integral Methods in Quantum Field Theories |year=1990 |publisher=Cambridge University Press}}
* {{Hivatkozás/Könyv |last=V.P. Nair |title=Quantum Field Theory A Modern Perspective |year=2005 |publisher=Springer}}
* Peskin-Schröder: ''An Introduction to Quantum Field Theory'', Addison-Wesley (1995)
Van néhány áttekintő cikk a Schwinger–Dyson-egyenletek alkalmazásáról a fizika egyes speciális területére vonatkozóan. A [[Kvantum-színdinamika|kvantum-színdinamikai]] alkalmazásokhoz léteznek
* {{Cite journal|author=R. Alkofer and L. v.Smekal|year=2001|title=On the infrared behaviour of QCD Green's functions|journal=Phys. Rep.|volume=353|issue=5–6|pages=281|doi=10.1016/S0370-1573(01)00010-2}}
* {{Cite journal|author=C.D. Roberts and A.G. Williams|year=1994|title=Dyson-Schwinger equations and their applications to hadron physics|journal=Prog. Part. Nucl. Phys.|volume=33|pages=477–575|doi=10.1016/0146-6410(94)90049-3}}
{{portál|Fizika}}
[[Kategória:Differenciálegyenletek]]
[[Kategória:Kvantumtérelmélet]]