Konvergencia (matematika)

Monoton növekvő, felülről korlátos számsorozat, egy jellegzetes konvergens sorozat (10-(10/n))

A konvergencia a matematikai analízis régi, központi fogalma. Maga a szó latin elemekből épül fel: com- 'együtt' + vergere 'hajlít', tulajdonképpeni jelentése összehajlás, összetartás. Elemek egy (a_n) sorozatának konvergenciáján lényegében azt értjük, hogy a sorozat tagjai egyre közelebb kerülnek egy értékhez, oly mértékben, hogy úgy tekintünk rájuk mintha az $n\to \mathrm{\infty }$ határesetben végtelen kis távolságra megközelítenék azt. A matematikai analízis egyik legfontosabb feladata, hogy a „végtelen közeli” kifejezésnek pontos és konzisztens értelmet adjon és ezzel a határérték fogalmát matematikai eszközökkel megragadhatóvá, kezelhetővé tegye. Attól függően, hogy milyen matematikai objektumok sorozata esetén beszélünk konvergenciáról, kissé eltér egymástól a

• számsorozat,
• normált térbeli vektorsorozat,
• metrikus térbeli pontsorozat
• topologikus pontsorozat, illetve a
• függvénysorozat

konvergenciájának definíciója. Általános intuitív definíció: az (a_n) sorozat konvergens és az A elemhez konvergál, ha az A elem akármilyen kicsi környezetét is vesszük, egy N_(ε) küszöbindextől elkezdve a sorozat minden eleme benne van ebben a kicsi környezetben.

Számsorozat konvergenciája

$K$ rendezett test $a_n\in K,n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ mely szerint $a$ tehát $K$ elemeiből alkotott sorozat ha a következő teljesül: $$\begin{gathered} \mathrm{\exists }\alpha \in K \\ \mathrm{\forall }ϵ>0 \\ \mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{\mathbb{N}} \\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:(n>n_0\Rightarrow \mid a_n-\alpha \mid <ϵ) \end{gathered}$$ akkor a sorozat konvergens, határértéke $\alpha$ tehát: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\alpha$

Valós számsorozatok konvergenciája

A (x_n) valós számsorozat konvergens, ha létezik olyan x valós szám, hogy minden $ϵ>0$ (valós) számhoz található olyan $n_0\in \mathbb{\mathbb{N}}$ küszöbszám, hogy ha $n>n_0$, akkor $|x_n-x|<ϵ$. Ekkor ezt az x értéket a sorozat határértékének hívjuk.

Valós szám-n-esek sorozatának konvergenciája

A valós pontsorozatok konvergenciájának definíciója a valós számsorozatok definíciójához hasonló. Az (x_n) valós pontsorozat konvergens, ha létezik olyan x pont, hogy minden $ϵ>0$ (valós) számhoz található olyan $n_0\in \mathbb{\mathbb{N}}$ küszöbszám, hogy ha $n>n_0$, akkor $|x_n-x|<ϵ$, ahol a kivonás koordinátánként értendő. Ekkor ez az x pont a sorozat határértéke. A valós pontsorozat pontosan akkor konvergens, ha egyes koordinátáinak sorozata konvergens, mint valós számsorozat.

Komplex számsorozatok konvergenciája

A (z_n) komplex számsorozat konvergens, ha létezik olyan z komplex szám, hogy minden $ϵ>0$ (valós) számhoz található olyan $n_0\in \mathbb{\mathbb{N}}$ küszöbszám, hogy ha $n>n_0$, akkor $|z_n-z|<ϵ$. Ekkor ezt a z értéket a sorozat határértékének hívjuk. Egy komplex számsorozat konvergens pontosan akkor, ha az elemek valós, illetve képzetes részéből vett valós számsorozat külön-külön konvergens.

Konvergencia metrikus téren

Legyen (X, d) egy metrikus tér. Az $x_n\in X$ sorozat konvergens, ha létezik olyan $x\in X$ elem, hogy minden $ϵ>0$ számhoz található olyan $n_0\in \mathbb{\mathbb{N}}$ küszöbszám, hogy ha $n>n_0$, akkor $$\begin{gathered} d(x_n, \\ x)<ϵ \end{gathered}$$.

Konvergencia topologikus téren

Topologikus téren a konvergencia a metrikus térhez hasonlóan definiálható; metrika hiányában azonban környezetekre kell hagyatkoznunk. Legyen (X, Ω) egy topologikus tér. Az $x_n\in X$ sorozat konvergens, ha létezik olyan $x\in X$ pont, hogy x minden B környezetéhez található olyan $n_0\in \mathbb{\mathbb{N}}$ küszöbszám, hogy ha $n>n_0$, akkor $x_n\in B$. Ahol is az x pont környezetei azok a B halmazok, amikre $B\in \mathrm{\Omega }$, és $x\in B$.

Példák

$n\in \mathbb{\mathbb{N}},a_n\in \mathbb{ℝ}$ $a_n=\frac{1}{n}$ ennek a sorozatnak a határértéke 0. $a_n=\frac{n}{n+1}$ ennek a sorozatnak a határértéke 1. $a_n={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n$ ennek a sorozatnak a határértéke $e$ (Euler-féle szám) (Euler után, közelítőleg 2,71828).

Megjegyzések, tételek

Konvergens sorozatok összege, szorzata, skalárszorosa, hányadosa is konvergens, és a határérték megegyezik a határértékek összegével, szorzatával, skalárszorosával, hányadosával. (Hányadosnál természetesen nem kerülhet a nevezőbe 0, azaz a nevezőbeli sorozat egy eleme sem lehet 0, és nem is tarthat 0-hoz, hogy értelmes legyen.) Ha egy sorozat nem konvergens, akkor divergensnek nevezzük. Ha a definíció alapján szeretnénk belátni, hogy egy sorozat konvergens, meg kell sejtenünk a határértékét. Ha ez nem lehetséges, akkor használhatjuk a Cauchy-sorozat definícióját, ami a valós számokon ekvivalens a konvergenciával (teljesség). A konvergencia azonban különböző kritériumok segítségével is belátható. A legtöbb kritérium elégséges, de nem szükséges, vagyis lehet, hogy egy kritériummal nem látható be a konvergencia, de egy másikkal igen. Ha egy sorozat korlátos és monoton, akkor konvergens.

Kapcsolódó szócikkek

Konvergenciakritériumok (matematika)

Források

• Császár Ákos: Valós analízis