Pitagoraszi számhármasok

A pitagoraszi számhármasok az egész oldalhosszúságú derékszögű háromszögek oldalhosszaiból álló számhármasok. A Pitagorasz-tétel értelmében az $(x,y,z)$ pozitív egészekből álló hármas pitagoraszi számhármas, ha megoldásai az $x^2+y^2=z^2$ diofantoszi egyenletnek.

Példák

A legkisebb számokból álló pitagoraszi számhármas a $(3,4,5)$, hiszen $3^2+4^2=5^2$. Ebből azonnal kapható végtelen sok pitagoraszi számhármas, ugyanis bármely $d\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}^{+}$ esetén $(3d,4d,5d)$ is az.

Pitagoraszi számhármasok előállítása

Meg fogjuk mutatni, hogy az $x^2+y^2=z^2$ diofantoszi egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

$x=2dst,y=d(s^2-t^2),z=d(s^2+t^2)$

vagy ebből x és y felcserélésével, ahol d,s,t pozitív egész számok, s>t, s és t különböző paritásúak és relatív prímek. Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor a fenti példából ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.

Bizonyítás

Az ilyen alakú hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

${\left(2dst\right)}^2+d^2(s^2-t^2{)}^2=4d^2{s}^2{t}^2+d^2(s^4-2s^2{t}^2+t^4)=d^2{s}^4+2d^2{s}^2{t}^2+d^2{t}^4=d^2(s^2+t^2{)}^2.$

A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x, y, z számokra $x^2+y^2=z^2$ teljesül. Leosztva a számok d legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x, y és z közül bármely kettő is relatív prím. Speciálisan nem lehet x és y egyszerre páros. De nem lehetnek egyszerre páratlanok sem, mert amúgy $x^2+y^2$ 2 maradékot adna 4-gyel osztva, ezért nem lehet négyzetszám. Tehát x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros és y páratlan. Az egyenlet szerint z is páratlan. Ekkor:

$x^2=z^2-y^2=(z+y)(z-y).$

A jobb oldal mindkét tényezője páros: $z+y=2a$, $z-y=2b$ (a,b pozitív egészek). Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná $y=a-b,z=a+b$-t is. Mivel $x^2=4ab$, azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: $a=s^2$, $b=t^2$ (s,t pozitív egészek és relatív prímek). Ezzel meg is van a kívánt előállítás: $x^2=4s^2{t}^2$ miatt $x=2st$, $y=a-b=s^2-t^2$, $z=a+b=s^2+t^2$. Mivel y pozitív és páratlan, ezért s>t is teljesül, valamint s és t különböző paritású.

Források

• Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.
• Weisstein, Eric W.: Pitagoraszi számhármas (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Kapcsolódó szócikkek

• Pitagorasz-tétel
• Pitagoraszi prímek
• Nagy Fermat-tétel