Bolzano–Weierstrass-tétel

A Bolzano–Weierstrass-tétel a matematika analízis nevű ágának egyik fontos, és a topológiában messzemenőkig általánosítható tétele. Alapesetben valós számsorozatokról szól: azt mondja ki, hogy végtelen korlátos sorozatból mindig kiválasztható konvergens részsorozat. Ebben a formában néha Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételnek is nevezik. A tétel azért jelentős, mert motiváló szerepe van a Hausdorff-féle topologikus tér kompakt halmazainak sorozatok segítségével történő jellemzésében.

A tétel állítása

Minden végtelen korlátos, valós számsorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítás

Intervallumfelezéssel

Legyen (a_n) korlátos számsorozat, ekkor (a_n) lefedhető valamely [α,β] korlátos és zárt intervallummal. Intervallumfelezéses eljárással rekurzív módon definiálni fogunk egymásba skatulyázott, nullához tartó hosszúságú intervallumok ($I$_k) sorozatát a következőképpen.

• $I_0:=[{\alpha }_0,{\beta }_0]:=[\alpha ,\beta ]$
• Ha k természetes szám, és $I_k=[{\alpha }_k,{\beta }_k]$ már definiálva van, akkor osszuk két egyenlő hosszúságú részre: $I_k=[{\alpha }_k,c_k]\cup [c_k,{\beta }_k]$. Valamelyikben a sorozatnak bizonyosan végtelen sok különböző indexű tagja van (ellenkező esetben ugyanis nem beszélhetnénk végtelen sorozatról). Természetesen előfordulhat, hogy mindkettőbe végtelen sok tag esik. A meghatározottság kedvéért legyen $I_{k+1}$ a két fél közül az az intervallum, melyben végtelen sok különböző indexű tag esik és ezek közül a „jobb oldali” félintervallum. (Ezzel azt értük el, hogy az intervallumsorozat minden tagjában lesz sorozatbeli elem.)

A Cantor-axióma (vagy Cantor-féle közöspont tétel) szerint, mely az egymásba skatulyázott intervallumokról szól az ($I_k$) intervallumsorozatnak létezik egyetlen közös pontja, legyen ez c. Megállapíthatjuk, hogy minden k természetes számra végtelen sok olyan i index (természetes szám) van, hogy $a_i\in I_k$, tehát minden k természetes számra igaz, hogy

$H_k=\{i\in \mathbb{\mathbb{N}}\mid a_i\in I_k\}\ne \mathrm{\varnothing }$.

Megjegyezzük, hogy a természetes számok jólrendezési tulajdonsága miatt ezeknek a nemüres halmazoknak van minimális elemük. Ezekből a halmazokból kell kiválasztanunk egy (i_k) indexsorozatot (tehát egy szigorúan monoton növekvő sorozatot). Ezt szintén rekurzióval tesszük.

• $i_0:=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{H}_0$
• Ha már $i_k$ definiálva van minden k-nál nem nagyobb természetes számra, akkor legyen $i_{k+1}$ az a szám, amelyik nagyobb az eddig definiált véges sok elemtől és a legkisebb ilyen elem $H_{k+1}$-ben.

Ekkor az

$(a_{i_k})$

sorozat c-hez konvergál. ■ Vegyük észre, hogy bár kiválasztásról van szó, mégsem kellett használnunk a kiválasztási axiómát, hiszen a természetes számokat a szokásos rendezés jólrendezi, így mindig konstruktívan (egyértelműen megnevezve) tudtunk kijelölni egy elemet a nemüres részhalmazaiból.

Csúcselemmel

Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat. Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. $a_k$-t csúcselemnek nevezzük, ha minden $n\ge k$ esetén $a_n\le a_k$. (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.) Ekkor két eset lehetséges:

1. Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha $n_1<n_2<n_3<\dots$ indexek, melyekre $a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dots$ csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
2. Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik $n_0$, hogy minden $n>n_0$ esetén $a_n$ nem csúcselem.

• De $a_{n_0}$ nem csúcselem, vagyis létezik $n_1>n_0$, hogy $a_{n_1}>a_{n_0}$.
• De $a_{n_1}$ nem csúcselem, vagyis létezik $n_2>n_1$, hogy $a_{n_2}>a_{n_1}$ stb.

Ekkor viszont $a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dots$ nyilván szigorúan monoton növő sorozat. Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.

Borel–Lebesgue-tétellel

Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az $u$ sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: $\mathrm{\forall }n:b_n=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{i>n:|a_i-u|<{\delta }_n\}$, ahol δ$n_{}$ egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat. Legyen $[a,b]$ olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy $a_n$-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden $x\in [a,b]$-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az $[a,b]$ intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a Borel–Lebesgue-tétel miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet $[a,b]$-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind $[a,b]$-ben van.

Következmény

Az előbbi tétel múlhatatlan fontosságú következménye, hogy egy $\mathbb{ℝ}$-beli halmaz pontosan akkor korlátos és zárt, ha kompakt. Itt egészen pontosan sorozatkompaktságról van szó, azaz arról, amikor egy tetszőleges $H\subseteq \mathbb{ℝ}$ halmazra teljesül, hogy minden H-beli értékeket felvevő sorozatnak van H-beli határértékű konvergens részsorozata. Az alábbi tételt néha szintén Bolzano–Weierstrass-tételnek nevezik (csak ekkor nem mondják oda a „kiválasztási” jelzőt). Tétel – Egy $H\subseteq \mathbb{ℝ}$ halmaz akkor és csak akkor korlátos és zárt, ha sorozatkompakt. Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy H korlátos és zárt. Ekkor a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételből következik, hogy minden H-ban haladó sorozatnak – minthogy ezeket lefedi a korlátos H – létezik konvergens részsorozata. H zártságából pedig az következik, hogy minden H-beli értékeket felvevő konvergens sorozat határértéke szintén H-beli, amivel az állítás első fele bebizonyosodott. Másrészt legyen H sorozatkompakt. Ha nem lenne korlátos, akkor tetszőleges n természetes számra

$H_n:=\{x\in H\mid |x|>n\}\ne \mathrm{\varnothing }$

lenne, és így a kiválasztási axióma segítségével definiálhatunk egy $(s_n)$ sorozatot, melynek elemei rendre $H_n$-beliek. Ekkor minden n természetes számra $s_n>n$, és így tetszőleges $(k_n)$ indexsorozatra (szig. mon. növekvő) $|s(k_n)|>k_n>n$, ami azt jelenti, hogy $(s_n)$-nek nincs konvergens részsorozata. A zártsághoz tekintsük H lezártjának egy h elemét. Ekkor létezik h határértékkel H-beli elemekből konvergens sorozat, melyből a sorozatkompaktság miatt szükségképpen h ∈ H következik. ■ A tétel párja a Borel–Lebesgue-féle lefedési tétel, mely szerint korlátos és zárt $\mathbb{ℝ}$-beli halmaz minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés (korlátos és zárt $\mathbb{ℝ}$-beli halmaz kompakt). Megjegyezzük, hogy a tételek ${\mathbb{ℝ}}^n$-ben is érvényesek.

Története

A tétel Bernard Bolzanóról és Karl Weierstrassról kapta a nevét. Először Bolzano bizonyította, de bizonyítása elveszett. Weierstrass újra bebizonyította, és az analízis egyik meghatározó tétele lett. Ezt követően kiderült, hogy korábban már Bolzano belátta az állítást, ezért kapta jelenlegi nevét a tétel.

További információk

• A PlanetMath Bolzano-Weierstrass theorem szócikke