Teljes várható érték tétele

A teljes várható érték tétele a valószínűségszámításban azt mondja ki, hogy ha $X$ $E (X)$ várható értékű valószínűségi változó, és $Y$ valószínűségi változó, akkor

E (X) = E (E (X ∣ Y)),

azaz $X$ $Y$ -ra vett feltételes várható értéke megegyezik $X$ várható értékével. Speciálisan, ha ${A_{i}}_{i}$ véges, vagy legfeljebb megszámlálható partíciója a valószínűségi mezőnek, akkor

E (X) = \sum_{i} E (X ∣ A_{i}) P (A_{i}) .

Példa

Tegyük fel, hogy két gyár villanykörtéket állít elő! Az $X$ gyár termékei átlagosan 5000, az $Y$ gyáréi átlagosan 4000 órán át működnek. Az $X$ gyár állítja elő az összes villanykörte 60%-át. Mennyi egy villanykörte várható élettartama? A teljes várható érték tételével:

E (L) = E (L ∣ X) P (X) + E (L ∣ Y) P (Y) = 5000 (0, 6) + 4000 (0, 4) = 4600

ahol:

$E (L)$ egy villanykörte várható élettartama
$P (X) = \frac{6}{10}$ annak a valószínűsége, hogy az $X$ gyárban készült
$P (Y) = \frac{4}{10}$ annak a valószínűsége, hogy az $Y$ gyárban készült
$E (L ∣ X) = 5000$ az $X$ gyárban készült villanykörte várható élettartama
$E (L ∣ Y) = 4000$ az $Y$ gyárban készült villanykörte várható élettartama

Eszerint a villanykörte várható élettartama 4600 óra.

Bizonyítás

Diszkrét eset

Állítás: Legyen $X$ és $Y$ diszkrét valószínűségi változó ugyanazon a valószínűségi mezőn, továbbá létezzen az $E [X]$ várható érték, $\min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty$ . Ha ${A_{i}}$ az $Ω$ valószínűségi mező partíciója, akkor

E (X) = \sum_{i} E (X ∣ A_{i}) P (A_{i}) .

Bizonyítás:

\begin{aligned} E (E (X ∣ Y)) & = E [\sum_{x} x \cdot P (X = x ∣ Y)] \\ = \sum_{y} [\sum_{x} x \cdot P (X = x ∣ Y)] \cdot P (Y = y) \\ = \sum_{y} \sum_{x} x \cdot P (X = x, Y = y) . \end{aligned}

Ha a sor véges, akkor az összegzések felcserélhetők, így

\begin{aligned} \sum_{x} \sum_{y} x \cdot P (X = x, Y = y) & = \sum_{x} x \sum_{y} P (X = x, Y = y) \\ = \sum_{x} x \cdot P (X = x) \\ = E (X) . \end{aligned}

Nem véges esetben a sor nem lehet feltételesen konvergens, mivel $\min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty .$ Ha $E [X_{+}]$ és $E [X_{-}]$ véges, akkor a konvergencia abszolút; ha pedig $E [X_{+}]$ vagy $E [X_{-}]$ nem véges, akkor a végtelenhez tart. Mindkét esetben felcserélhető az összegzés az összegre való hatás nélkül.

Általános eset

Legyen $(Ω, ℱ, P)$ valószínűségi mező, amin adva vannak az $𝒢_{1} \subseteq 𝒢_{2} \subseteq ℱ$ σ-algebrák. Ekkor a téren egy $X$ valószínűségi változóra, aminek van várható értéke, vagyis $\min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty$ , teljesül, hogy

E [E [X ∣ 𝒢_{2}] ∣ 𝒢_{1}] = E [X ∣ 𝒢_{1}] .

Bizonyítás: Mivel a feltételes várható érték Radon–Nikodym-derivált, elegendő ezeket bizonyítani:

$E [E [X ∣ 𝒢_{2}] ∣ 𝒢_{1}] is 𝒢_{1}$ -mérhető
$\int_{G_{1}} E [E [X ∣ 𝒢_{2}] ∣ 𝒢_{1}] d P = \int_{G_{1}} X d P,$ minden $G_{1} \in 𝒢_{1}$ esetén.

Az első állítás a feltételes várható érték definíciójából adódik. A második bizonyításához jegyezzük meg, hogy

\begin{aligned} \min (\int_{G_{1}} X_{+} d P, \int_{G_{1}} X_{-} d P) & \leq \min (\int_{Ω} X_{+} d P, \int_{Ω} X_{-} d P) \\ = \min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty, \end{aligned}

Így létezik az $\int_{G_{1}} X d P$ integrál, vagyis nem egyenlő $\infty - \infty$ -nel. Ekkor teljesül a második állítás, hiszen $G_{1} \in 𝒢_{1} \subseteq 𝒢_{2}$ implies

\int_{G_{1}} E [E [X ∣ 𝒢_{2}] ∣ 𝒢_{1}] d P = \int_{G_{1}} E [X ∣ 𝒢_{2}] d P = \int_{G_{1}} X d P .

Következmény: Speciálisan, ha $𝒢_{1} = {\emptyset, Ω}$ és $𝒢_{2} = σ (Y)$ , akkor

E [E [X ∣ Y]] = E [X] .

Partíciós formula

\begin{aligned} \sum_{i} E (X ∣ A_{i}) P (A_{i}) & = \sum_{i} \int_{Ω} X (ω) P (d ω ∣ A_{i}) \cdot P (A_{i}) \\ = \sum_{i} \int_{Ω} X (ω) P (d ω \cap A_{i}) \\ = \sum_{i} \int_{Ω} X (ω) I_{A_{i}} (ω) P (d ω) \\ = \sum_{i} E (X I_{A_{i}}), \end{aligned}

ahol $I_{A_{i}}$ az $A_{i}$ halmaz indikátorfüggvénye. Ha az ${A_{i}}_{i = 0}^{n}$ partíció véges, akkor a linearitás miatt az előbbi kifejezés az

E (\sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}}) = E (X),

alakot ölti, és készen vagyunk. Egyébként a dominált konvergencia tételével megmutatható, hogy

E (\sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}}) \to E (X) .

innen minden $n \geq 0$ esetén

| \sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}} | \leq | X | I_{\cup \limits_{i = 0}^{n} A_{i}} \leq | X | .

Mivel $Ω$ minden eleme egy, és csak egy $A_{i}$ halmazba tartozik, hamar igazolható, hogy ${\sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}}}_{n = 0}^{\infty}$ pontonként konvergál $X$ -hez. Az eredeti feltevés szerint $E | X | < \infty$ . Innen a dominált konvergencia tétele nyújtja az eredményt.

Források

Billingsley, Patrick. Probability and measure. New York: John Wiley & Sons (1995). ISBN 0-471-00710-2 (Theorem 34.4)
Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Law of total expectation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Teljes várható érték tétele

Tartalomjegyzék

Példa

Bizonyítás

Diszkrét eset

Általános eset

Partíciós formula

Források

Fordítás

Navigációs menü

Lapműveletek

Lapműveletek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök

Társprojektek

Más nyelveken