Karakterisztika

Az absztrakt algebrában a karakterisztika a gyűrűk (azok között is kiemelt fontossággal a testek) numerikus jellemzője. Definíciója azon az észrevételen alapul, hogy bizonyos gyűrűkben bármely elemet önmagával elég sokszor összeadva 0-t kapunk. A legkisebb olyan n pozitív egész számot, amelyre teljesül az, hogy egy adott gyűrű bármelyik elemét n-szer összeadva 0-t kapunk, a gyűrű karakterisztikájának nevezzük. Ha ilyen n szám nincsen, azt mondjuk, hogy a gyűrű karakterisztikája 0. Az $R$ gyűrű karakterisztikájának szokásos jelölése $\mathrm{char}(R)$.

Definíció

Gyűrűkben

Legyen $R=(U,+,\cdot ,0)$ egy gyűrű. Ekkor, amennyiben létezik olyan n ∈ ℕ⁺ pozitív egész szám, hogy bármely r ∈ R esetén

$nr=\underset{n\text{ db}}{\underbrace{r+r+\cdots +r}}=0\in U$,

akkor a legkisebb ilyen n pozitív egészet nevezzük az R gyűrű karakterisztikájának; ha pedig ilyen n pozitív egész nem létezik, akkor a gyűrű karakterisztikáját 0-nak definiáljuk. A karakterisztika jele $\mathrm{char}R$ vagy $\mathrm{char}(R)$ . Formálisan tehát

$\mathrm{char}(R):=\min \{n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}^{*}\mid \mathrm{\forall }r\in R:nr=0\}$,

ha létezik ez a minimum, különben $\mathrm{char}(R):=0$. Szavakban elmondva: a legkisebb olyan pozitív egész szám az R gyűrű karakterisztikája, mellyel a gyűrű összes elemét többszörözve a nullelem adódik; ha pedig ilyen többszöröző nincs, akkor 0 a karakterisztika.

Zérusosztómentes gyűrűkben

A fogalmat másként is definiálhatjuk. Nevezetesen, mondhatjuk a legkisebb olyan k ∈ ℕ⁺-t az R karakterisztikájának, melyhez van olyan a ∈ U \ {0} nemnulla elem, hogy ka = 0 (vagy pedig k = 0, ha nincs ilyen szám semmilyen nemnulla a-hoz). A legutóbbi átfogalmazásra a következő tétel ad lehetőséget: ha egy R zérusosztómentes gyűrűben létezik olyan a ∈ R \ {0} elem és olyan n ∈ ℕ⁺ szám, amelyekre na = 0, akkor bármely r ∈ R-re nr = 0. Ha a feltétel teljesül, akkor a legkisebb ilyen n legyen az R karakterisztikája, különben pedig a 0. Ugyanis ha a feltétel teljesül, akkor az $na=0$ egyenlőséget jobbról szorozva tetszőleges r ∈ R elemmel:

$0=(na)r=\underset{n\text{ db}}{\underbrace{(a+a+\cdots +a)}}\cdot r=\underset{n\text{ db}}{\underbrace{ar+ar+\cdots +ar}}=a\cdot \underset{n\text{ db}}{\underbrace{(r+r+\cdots +r)}}=a(nr)$,

ahol a minden gyűrűben érvényes 0r = 0 azonosságot, illetve a disztributivitási szabályokat használtuk ki. Tehát $a(nr)=0$, s mivel $a\ne 0$ , ezért a zérusosztómentesség miatt $nr=0$.

Testekben

Ha egy gyűrű test, akkor automatikusan egységelemes és zérusosztómentes is; a karakterisztikát ekkor az egységelem segítségével is szokták definiálni, mint a legkisebb pozitív egész számot, mellyel az egységelemet többszörözve a nullelemet kapjuk – ha pedig nem létezik ilyen egész, akkor 0 a test karakterisztikája.

A karakterisztika zérusosztómentes gyűrűkben

Zérusosztómentes és legalább kételemű gyűrű (azaz nem nullgyűrű) karakterisztikája vagy prímszám, vagy 0. Legyen ugyanis k ∈ ℕ⁺ a karakterisztika, ekkor minden a ∈ R-re ka = 0. Megmutatjuk, hogy k ≠ 1 és csak triviálisan bontható fel két tényező szorzatára, ahonnan következik, hogy k prím. k = 1 esetén 1a = 0-ból az következne, hogy a gyűrű minden eleme a nullelem lenne, vagyis a gyűrű egyelemű, maga a nullgyűrű. Most tegyük fel, hogy k = uv, ahol u, v ∈ ℕ⁺, és legyen a ≠ 0 egy tetszőleges gyűrűelem. Ekkor

$0=ka=\underset{uv\text{ db}}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}=\underset{v\text{ db}}{\underbrace{\underset{u\text{ db}}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}+\underset{u\text{ db}}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}+\cdots +\underset{u\text{ db}}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}}}=\underset{v\text{ db}}{\underbrace{ua+ua+\cdots +ua}}=v(ua),$

tehát az ua ∈ R elem v-szerese 0. Két esetet különböztethetünk meg:

• Abban az esetben, ha ua = 0, akkor a zérusosztómentes gyűrűk esetén látott tulajdonság alapján ur = 0, bármely r ∈ R-re, tehát a karakterisztika definíciója alapján k = char(R) ≤ u. Ugyanakkor k = uv miatt u ≤ k, így tehát u = k és v = 1 – ez esetben a k = uv felbontás triviális.
• Ha ua ≠ 0, akkor az előző esethez hasonlóan R zérusosztómentessége miatt v(ua) = 0 alapján következik, hogy tetszőleges r ∈ R esetén vr = 0. Az előzőhöz hasonló megfontolásból k = char(R) ≤ v ≤ k, ahonnan v = k és u = 1, tehát a k = uv felbontás ismét triviális.

Ezzel kimutattuk, hogy k felbontása csakis triviális lehet, így char(R) = k ≥ 2 egy prímszám. A testek (definíciójuk alapján) legalább kételemű, zérusosztómentes gyűrűk, ezért a testek karakterisztikája is mindig vagy prímszám, vagy 0.

A karakterisztika mint additív rend

Egy $R=(U,+,\cdot ,0)$ gyűrű karakterisztikája $\mathrm{char}(R)=0$ esetén az $A=(U,+)$ additív Abel-csoport nemnulla elemeinek rendjeiből számolt legkisebb közös többszörös, ugyanis tetszőleges a ∈ A és n ∈ ℕ⁺ esetén $na=0\iff \mathrm{ord}\left(a\right)\mid n$, tehát ha $\mathrm{char}(R)a=0,\mathrm{\forall }a\in A$, akkor szükségképpen $\mathrm{ord}\left(a\right)\mid \mathrm{char}(R),\mathrm{\forall }a\in A$. Ez alapján az A csoport minden elemének véges a rendje, továbbá létezik $\mathrm{lkkt}\{\mathrm{ord}(a)\mid a\in A\}$ és $\mathrm{lkkt}\{\mathrm{ord}(a)\mid a\in A\}\mid \mathrm{char}(R)$, ahonnan $\mathrm{char}(R)$ minimalitása miatt $\mathrm{char}(R)=\mathrm{lkkt}\{\mathrm{ord}(a)\mid a\in A\}$. A fentieket figyelembe véve, $\mathrm{char}(R)=0$ érvényesek a következők:

1. Ha n, m ∈ ℕ⁺, és a ∈ R, akkor $na=ma\iff n\equiv m(\mathrm{mod}\mathrm{char}(R))$, ugyanis $na=ma\iff |n-m|a=0\iff |n-m|\mid \mathrm{char}(R)$, ami átfogalmazható a moduláris aritmetika nyelvére.
2. Ha az R gyűrű véges, akkor $\mathrm{char}(R)\mid \left|R\right|$, vagyis a karakterisztika osztója a gyűrű rendjének, azaz az U tartóhalmaz elemszámának, hiszen Lagrange tételének egyik következménye szerint $\mathrm{ord}\left(a\right)\mid \left|A\right|,\mathrm{\forall }a\in A$, ahol $\left|A\right|=\left|U\right|=\left|R\right|$.
3. Prím elemszámú zéruslosztómentes gyűrű elemszáma maga a karakterisztika, vagyis ha $\left|R\right|$ prímszám, akkor $\mathrm{char}(R)=\left|R\right|$, hiszen a karakterisztika ($\mathrm{char}(R)=0$ miatt) egyrészt prímszám kell legyen, másrészt osztója a gyűrű elemszámának.

Alkalmazások

Két nagyon fontos és gyakran használt alkalmazást említhetünk:

• A prímtest létezésének igazolása és a véges testek jellemzése elemszám szempontjából. (Véges test elemszáma mindig prímhatvány, mégpedig a karakterisztika hatványa; véges testnek mindig van egy minimális, prím elemszámú részteste, melynek elemszáma épp az eredeti test karakterisztikája – e test a prímtest.)
• Ha a gyűrűbeli elemeket a karakterisztikára mint hatványkitevőre emeljük, azáltal az ún. Frobenius-függvény értékeit számoljuk ki, amelyről belátható, hogy testekben homomorfizmus, azaz összeg- és szorzattartó. Utóbbi állításnak fontos szerepe van a véges testek feletti polinomok elméletében.