Gauss-féle első alapmennyiség

A differenciálgeometriában a Gauss-féle első alapmennyiség egy háromdimenziós euklideszi térben adott felület érintő terében vett skaláris szorzat, ami szokványosan az R³ skaláris szorzatából van indukálva. Lehetővé teszi a görbület és a felület metrikus tulajdonságainak (mint például hossz és terület) kiszámítását a körülvevő környezettel (magasabb dimenziószámú tér) konzisztens módon. A Gauss-féle első alapmennyiség jelölésére a római egyes szám ($\mathrm{I}$) szolgál.

$\mathrm{I}(x,y)=⟨x,y⟩.$

Legyen X(u, v) egy paraméteres felület. Ekkor a két érintővektor skaláris szorzata:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{I}(a{X}_u+b{X}_v,c{X}_u+d{X}_v)\\ & =ac⟨X_u,X_u⟩+(ad+bc)⟨X_u,X_v⟩+bd⟨X_v,X_v⟩\\ & =Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{array}$

ahol E, F és G a Gauss-féle első alapmennyiség együtthatói. A Gauss-féle első alapmennyiségek kifejezhetőek egy szimmetrikus mátrixszal is, melyet Gauss-féle első alapmátrixnak neveznek:

$\mathrm{I}(x,y)=x^{\text{T}}\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)y$