Ferdén szimmetrikus mátrix

Az $n$-edrendű $A=[a_{ij}]$ négyzetes mátrix ferdeszimmetrikus vagy ferdén szimmetrikus mátrix, ha megegyezik a transzponáltjának (–1)-szeresével, vagyis ha $A^T=-A$, tehát $a_{ij}=-a_{ji}$ minden $i,j=1,\dots ,n$ indexre. A nem 2 karakterisztikájú test fölötti ferdén szimmetrikus mátrix minden főátlóbeli eleme zérus, tekintettel a definíció szerinti $a_{ii}=-a_{ii}$ egyenlőségre minden $i=1,\dots ,n$ index esetén, mert csak a 0 egyenlő a saját ellentettjével. Továbbá nem 2 karakterisztikájú test fölött a páratlan dimenziójú ferdén szimmetrikus mátrixok determinánsa nulla. Ugyanis: $A^T=-A$, így $\det (A)=\det (A^T)=\det (-A)=(-1{)}^n\det (A)$.

Példa

Az $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 7& -2\\ -7& 0& -1\\ 2& 1& 0\\ \end{array}\right]$ mátrix ferdén szimmetrikus mátrix, mert $(-1)\cdot A^T=(-1)\cdot \left[\begin{array}{ccc}0& -7& 2\\ 7& 0& 1\\ -2& -1& 0\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 7& -2\\ -7& 0& -1\\ 2& 1& 0\\ \end{array}\right]$.

Tulajdonságok

A ferdén szimmetrikus mátrixok vektorteret alkotnak, aminek dimenziója $\frac{n(n-1)}{2}$. Továbbá a vektoriális szorzás kifejezhető ferdén szimmetrikus mátrixszal:

$a\times b=S_{a}b$

ahol

$S_a=\left(\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right)$

Ezzel a vektoriális szorzatot tartalmazó függvények deriváltja is kiszámíthatóvá válik.

Források

• Obádovics, J. Gyula.szerk.: Érsek Nándor: 1.3.1 Műveletek mátrixokkal., Mátrixok és differenciálegyenletrendszerek. Budapest: Scolar Kiadó (2005. április 27.). ISBN 963-9534-24-2