Lipschitz-féle konvergenciakritérium

A Lipschitz-féle kritérium a valós analízis egyik konvergenciakritériuma, a Dini-féle konvergenciakritérium speciális esete. Legyen $f$ egy valós függvény, és legyen ${\phi }_x(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x)$. Ha valamely $x$-re a $t=0$ kis környezetében

$|{\phi }_x(t)|\le c|t{|}^{\alpha }(0<\alpha \le 1)$,

akkor $s_n(x)\to f(x).$
Ha az $f(x)$ függvénynek az $x$ pontban a jobb és bal oldali határértékei léteznek, akkor a Dini-kritérium teljesülésének nyilván szükséges feltétele, hogy az $x$ pontban a függvény értéke e két határérték számtani közepe legyen:

$f(x)=\frac{1}{2}[f(x+0)+f(x-0)].$

Ha ez igaz, akkor a Lipschitz-kritérium $\alpha =1$ kitevő esetén így írható:

$|\frac{f(x+t)-f(x+0)}{t}+\frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}|<c.$

ez a feltétel pedig biztosan teljesül, ha a

$\underset{t->+0}{\lim }\frac{f(x+t)-f(x+0)}{t},\underset{t->+0}{\lim }\frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}$

határértékek léteznek. Érvényes tehát a következő állítás: Az $f(x)$ függvény Fourier-sora minden olyan $x$ helyen az

$\frac{1}{2}[f(x+0)+f(x-0)]$

értékhez tart, amelyben az $$\begin{gathered} f(x+0), \\ f(x-0) \end{gathered}$$ és a fenti határértékek léteznek.
Speciálisan: Az $f(x)$ függvény Fourier-sora minden olyan helyen $f(x)$-hez tart, ahol $f(x)$ differenciálható.

Források

• Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).