Pauli-mátrixok

Pauli-mátrixoknak nevezzük (Wolfgang Pauli után) az alábbi három mátrixot: ${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ ${\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$ ${\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ A Pauli-mátrixok a 2x2-es, hermitikus, 0 nyomú mátrixok 3 dimenziós valós vektorterének egy bázisát alkotják.

Algebrai tulajdonságok

Pauli mátrixok szorzata

${\sigma }_x^2={\sigma }_y^2={\sigma }_z^2=I$ ${\sigma }_x{\sigma }_y=i{\sigma }_z$ ${\sigma }_y{\sigma }_z=i{\sigma }_x$ ${\sigma }_z{\sigma }_x=i{\sigma }_y$ $Tr({\sigma }_i{\sigma }_j)=2{\delta }_{ij}(i,j\in \{x,y,z\})$ ${\sigma }_x{\sigma }_y-{\sigma }_y{\sigma }_x=2i{\sigma }_z$ ${\sigma }_y{\sigma }_z-{\sigma }_z{\sigma }_y=2i{\sigma }_x$ ${\sigma }_z{\sigma }_x-{\sigma }_x{\sigma }_z=2i{\sigma }_y$

Determináns, nyom, sajátérték

A Pauli-mátrixok nyoma és determinánsa:

$$\begin{gathered} \begin{array}{cccc}\det ({\sigma }_i)& =& -1& \\ \mathrm{Tr}({\sigma }_i)& =& 0& \text{ha} \\ i=1,2,3.\end{array} \end{gathered}$$

Ebből következik, hogy +1 és -1 sajátértéke az összes Pauli-mátrixnak. Így

${\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3=i\mathbf{1}$

Forgáscsoport

A Pauli-mátrixok Lie-algebrát alkotnak a mátrixszorzásra. Az

$\exp (-\mathrm{i}\frac{\alpha }{2}\mathit{\sigma }\cdot \mathbf{n})=\cos \frac{\alpha }{2}\mathbf{1}-\mathrm{i}\sin \frac{\alpha }{2}\sigma \cdot \mathbf{n}$

azonosság szerint a Pauli-mátrixok a komplex $\text{SU}(2)$ forgáscsoport generátorai, ahol n a forgástengely irányvektora ${\mathbb{ℝ}}^3$-ben, és α a forgatás szöge, ami 0 és 4π között változhat. α = 2π-re $\exp (-\mathrm{i}\pi \mathit{\sigma }\cdot \mathbf{n})=-\mathbf{1}$ adódik. Így egy 1/2 spin csak egy 4π szögű forgatással reprodukálható.