Tórusz

Tórusz

Rácsmodellel szemléltetett tórusz

A tórusz egy forgástest, amely egy körlemezt egy vele komplanáris (jelentése: egy síkban lévő) tengely körül elforgatva generálható. Tórusz alakú például a hulahop karika és a kerékpár belső gumija.

Képletek

Egyenletek

A tórusz egy lehetséges parametrizálása:

$x(r,\varphi ,\theta )=(R+r\cos \varphi )\cos \theta ,$

$y(r,\varphi ,\theta )=(R+r\cos \varphi )\sin \theta ,$

$z(r,\varphi ,\theta )=r\sin \varphi ,$

ahol $0<r<R$, és $\varphi ,\theta \in [0;2\pi )$. Jelölje $r$ a generáló kör sugarát, s jelölje $R$ a forgástengely és a kör középpontjának távolságát. Ekkor a tórusz pontjai az alábbi egyenlőtlenségnek tesznek eleget:

${(R-\sqrt{x^2+y^2})}^2+z^2\le r^2,$

Ebből gyöktelenítéssel adódik ez az ekvivalens formula:

$(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2{)}^2\le 4R^2(x^2+y^2).$

Térfogat és felszín

A tórusz térfogata ($V$) és felszíne ($A$) kiszámítható a Papposz–Guldin-tétel segítségével:

$V=2{\pi }^{2}R{r}^2=\left(\pi r^2\right)\left(2\pi R\right)$

$A=4{\pi }^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)$.

Fontos megjegyezni, hogy a tórusz felszíne és térfogata megegyezik egy hengerével, melynek magassága $2\pi R$, alapkörének sugara pedig $r$. Ennek magyarázata az, hogy ha egy tóruszt elvágunk a generáló kör mentén, majd kinyújtjuk, akkor a belső oldal felület- és térfogat-veszteségeit kompenzálják a külső oldal nyereségei.

Topológia

A tórusz, mint két kör szorzata

A tórusz topológiai szempontból zárt felület, ami két körvonal szorzataként írható le: S¹ × S¹. A síkból tórusz kapható a következő reláció szerinti azonosítással:

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1).

Egy négyzet két-két szemben fekvő oldalpárjának azonosításával szintén tóruszt kapunk. Ezt nevezik lapos tórusznak. A tórusz fundamentális csoportja a két kör fundamentális csoportjának direkt szorzata:

${\pi }_1({\mathbb{𝕋}}^2)={\pi }_1(S^1)\times {\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{\mathbb{Z}}\times \mathbb{\mathbb{Z}}.$

Ha a tóruszt egy rajta ejtett lyukon át kifordítják, akkor újra tóruszt kapnak, aminek a szélességi és hosszúsági vonalai megcserélődtek. A tórusz első homológiacsoportja izomorf a tórusz fundamentális csoportjával. Ez következik a Hurewicz-tételből, mivel a fundamentális csoport Abel.

A tórusz szeletelése

Egy tórusz n síkkal legfeljebb $\frac{1}{6}(n^3+3n^2+8n)$ részre darabolható. Ez az egész számok egy különleges sorozata. (A003600 sorozat az OEIS-ben) A sorozat első tagjai: 1, 2, 6, 13, ha n 0-tól kezdődik.

Színezés

Egy tóruszon levő térképet mindig ki lehet színezni legfeljebb hét színnel úgy, hogy a szomszéd területek színe különböző. Lásd még: négyszín-tétel a síkon.

Az ábra hét, egymást kölcsönösen érintő területet mutat

Általánosítás

A tórusz általánosítható magasabb dimenziókra is. Ezek az n dimenziós tóruszok, röviden n-tóruszok. Az eddigi tórusz a 2-tórusz. Az n dimenziós tórusz előáll n kör topologikus szorzataként:

${\mathbb{𝕋}}^n=\underset{n}{\underbrace{S^1\times S^1\times \cdots \times S^1}}.$

Az 1-tórusz a kör; a 2-tórusz ismert. A 3-tóruszt nehéz szemléltetni. Az általánosított tóruszt ugyanúgy le lehet írni Rⁿ hányadostereként, mint a 2-tóruszt. Ez Rⁿ hányadoscsoportja a Zⁿ rács hatása szerint, ahol Zⁿ eltolással (összeadással) hat. Az n-tórusz megkapható úgy is, hogy azonosítjuk egy hiperkocka egymással szemben fekvő lapjait. Az n-tórusz fundamentális csoportja n rangú szabad Abel-csoport, k-adik homológiacsoportja $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ rangú szabad Abel-csoport. Ennek következménye, hogy az n-tórusz Euler-karakterisztikája minden n-re 0.

Források

• Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0.
• V.V. Nikulin, I.R.Shafarevich. Geometries and Groups. Springer, 1987. ISBN 3-540-15281-4, ISBN 978-3-540-15281-1.
• Tórusz előállítása a cut-the-knotnál
• Weisstein, Eric W.: Torus (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• "4D tórusz" utazás egy négydimenziós tórusz keresztmetszetein át
• "Relációs áttekintő térkép" Archiválva 2021. február 28-i dátummal a Wayback Machine-ben Magas dimenziós adatok szemléltetése lapos tóruszokkal
• "Torus Games" Játékok, amik megvilágítják a tórusz topológiáját

További információk

A Wikimédia Commons tartalmaz Torus témájú médiaállományokat.

• Jeffrey R. Weeks: A tér alakja (Typotex, 2009) ISBN 978 963 2790-58 9
• Szűcs András: Topológia