Hiperbolikus függvények integráljainak listája

Az alábbi lista a hiperbolikus függvények integráljait tartalmazza. Feltételezzük, hogy a c konstans nem zéró.

$\int \text{sh}(cx)dx=\frac{1}{c}\text{ch}(cx)$

$\int \text{ch}(cx)dx=\frac{1}{c}\text{sh}(cx)$

$\int {\text{sh}}^2(cx)dx=\frac{1}{4c}\text{sh}(2cx)-\frac{x}{2}$

$\int {\text{ch}}^2(cx)dx=\frac{1}{4c}\text{sh}(2cx)+\frac{x}{2}$

$\int {\text{sh}}^n(cx)dx=\frac{1}{cn}{\text{sh}}^{n-1}(cx)\text{ch}(cx)-\frac{n-1}{n}\int {\text{sh}}^{n-2}(cx)dx(n=1,2,\dots )$

továbbá: $\int {\text{sh}}^n(cx)dx=\frac{1}{c(n+1)}{\text{sh}}^{n+1}(cx)\text{ch}(cx)-\frac{n+2}{n+1}\int {\text{sh}}^{n+2}(cx)dx(n=-2,-3,\dots )$

$\int {\text{ch}}^n(cx)dx=\frac{1}{cn}\text{sh}(cx){\text{ch}}^{n-1}(cx)+\frac{n-1}{n}\int {\text{ch}}^{n-2}(cx)dx(n=1,2,\dots )$

továbbá: $\int {\text{ch}}^n(cx)dx=-\frac{1}{c(n+1)}\text{sh}(cx){\text{ch}}^{n+1}(cx)-\frac{n+2}{n+1}\int {\text{ch}}^{n+2}(cx)dx(n=-2,-3,\dots )$

$\int \frac{dx}{\text{sh}(cx)}=\frac{1}{c}\ln \left|\text{th}\frac{cx}{2}\right|$

továbbá: $\int \frac{dx}{\text{sh}(cx)}=\frac{1}{c}\ln \left|\frac{\text{ch}(cx)-1}{\text{sh}(cx)}\right|$

továbbá: $\int \frac{dx}{\text{sh}(cx)}=\frac{1}{c}\ln \left|\frac{\text{sh}(cx)}{\text{ch}(cx)+1}\right|$

továbbá: $\int \frac{dx}{\text{sh}(cx)}=\frac{1}{c}\ln \left|\frac{\text{ch}(cx)-1}{\text{ch}(cx)+1}\right|$

$\int \frac{dx}{\text{ch}(cx)}=\frac{2}{c}\text{arc tg}(e^{cx})$

$\int \frac{dx}{{\text{sh}}^n(cx)}=\frac{\text{ch}(cx)}{c(n-1){\text{sh}}^{n-1}(cx)}-\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\text{sh}}^{n-2}(cx)}(n\ne 1)$

$\int \frac{dx}{{\text{ch}}^n(cx)}=\frac{\text{sh}(cx)}{c(n-1){\text{ch}}^{n-1}(cx)}+\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\text{ch}}^{n-2}(cx)}(n\ne 1)$

$\int \frac{{\text{ch}}^n(cx)}{{\text{sh}}^m(cx)}dx=\frac{{\text{ch}}^{n-1}(cx)}{c(n-m){\text{sh}}^{m-1}(cx)}+\frac{n-1}{n-m}\int \frac{{\text{ch}}^{n-2}(cx)}{{\text{sh}}^m(cx)}dx(m\ne n)$

továbbá: $\int \frac{{\text{ch}}^n(cx)}{{\text{sh}}^m(cx)}dx=-\frac{{\text{ch}}^{n+1}(cx)}{c(m-1){\text{sh}}^{m-1}(cx)}+\frac{n-m+2}{m-1}\int \frac{{\text{ch}}^n(cx)}{{\text{sh}}^{m-2}(cx)}dx(m\ne 1)$

továbbá: $\int \frac{{\text{ch}}^n(cx)}{{\text{sh}}^m(cx)}dx=-\frac{{\text{ch}}^{n-1}(cx)}{c(m-1){\text{sh}}^{m-1}(cx)}+\frac{n-1}{m-1}\int \frac{{\text{ch}}^{n-2}(cx)}{{\text{sh}}^{m-2}(cx)}dx(m\ne 1)$

$\int \frac{{\text{sh}}^m(cx)}{{\text{ch}}^n(cx)}dx=\frac{{\text{sh}}^{m-1}(cx)}{c(m-n){\text{ch}}^{n-1}(cx)}+\frac{m-1}{m-n}\int \frac{{\text{sh}}^{m-2}(cx)}{{\text{ch}}^n(cx)}dx(m\ne n)$

továbbá: $\int \frac{{\text{sh}}^m(cx)}{{\text{ch}}^n(cx)}dx=\frac{{\text{sh}}^{m+1}(cx)}{c(n-1){\text{ch}}^{n-1}(cx)}+\frac{m-n+2}{n-1}\int \frac{{\text{sh}}^m(cx)}{{\text{ch}}^{n-2}(cx)}dx(n\ne 1)$

továbbá: $\int \frac{{\text{sh}}^m(cx)}{{\text{ch}}^n(cx)}dx=-\frac{{\text{sh}}^{m-1}(cx)}{c(n-1){\text{ch}}^{n-1}(cx)}+\frac{m-1}{n-1}\int \frac{{\text{sh}}^{m-2}(cx)}{{\text{ch}}^{n-2}(cx)}dx(n\ne 1)$

$\int x\text{sh}(cx)dx=\frac{1}{c}x\text{ch}(cx)-\frac{1}{c^2}\text{sh}(cx)$

$\int x\text{ch}(cx)dx=\frac{1}{c}x\text{sh}(cx)-\frac{1}{c^2}\text{ch}(cx)$

$\int \text{th}(cx)dx=\frac{1}{c}\ln |\text{ch}(cx)|$

$\int \text{cth}(cx)dx=\frac{1}{c}\ln |\text{sh}(cx)|$

$\int {\text{th}}^n(cx)dx=-\frac{1}{c(n-1)}{\text{th}}^{n-1}(cx)+\int {\text{th}}^{n-2}(cx)dx(n\ne 1)$

$\int {\text{cth}}^n(cx)dx=-\frac{1}{c(n-1)}{\text{cth}}^{n-1}(cx)+\int {\text{cth}}^{n-2}(cx)dx(n\ne 1)$

$\int \text{sh}(bx)\text{sh}(cx)dx=\frac{1}{b^2-c^2}(b\text{sh}(cx)\text{ch}(bx)-c\text{ch}(cx)\text{sh}(bx))(b^2\ne c^2)$

$\int \text{ch}(bx)\text{ch}(cx)dx=\frac{1}{b^2-c^2}(b\text{sh}(bx)\text{ch}(cx)-c\text{sh}(cx)\text{ch}(bx))(b^2\ne c^2)$

$\int \text{ch}(bx)\text{sh}(cx)dx=\frac{1}{b^2-c^2}(b\text{sh}(bx)\text{sh}(cx)-c\text{ch}(bx)\text{ch}(cx))(b^2\ne c^2)$

$\int \text{sh}(ax+b)\sin (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\sin (cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\cos (cx+d)$

$\int \text{sh}(ax+b)\cos (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\cos (cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\sin (cx+d)$

$\int \text{ch}(ax+b)\sin (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\sin (cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\cos (cx+d)$

$\int \text{ch}(ax+b)\cos (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\text{sh}(ax+b)\cos (cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\text{ch}(ax+b)\sin (cx+d)$