Kerületi és középponti szögek tétele

Kerületi és középponti szög

A kerületi és középponti szögek tétele egy geometriai tétel, mely kimondja, hogy adott körben adott ívhez tartozó kerületi szög mindig fele az ívhez tartozó középponti szögnek. Más megfogalmazásban: Adott körben adott ívhez tartozó középponti szög mindig kétszerese az ívhez tartozó kerületi szögnek. A tételből következményként adódik a Thalész-tétel.

Bizonyítása

A tételt hat alesetre bontva bizonyítjuk.

I. eset

A középponti szög egyik szára illeszkedik a – nem érintő szárú – kerületi szög egyik szárára.

I. eset

Legyen az adott kerületi szög a továbbiakban $\alpha$, a középponti szög pedig $\omega$. Az ábrán látható $BCO$ háromszög egyenlő szárú, mert $OC=OB=r$, ezért $C$-nél és $B$-nél lévő szöge egyaránt $\alpha$. Mivel $\omega$ ennek a háromszögnek külső szöge, egyenlő a két másik csúcsnál lévő belső szög összegével, azaz $\omega =2\alpha$.

II. eset

II. eset

A középponti szög a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába esik, nincs közös száruk. Vegyük fel a $CO$ egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem $C$) metszéspontja legyen $D$. A $CD$ szakasz az $\alpha$ kerületi szöget ${\alpha }_1$ és ${\alpha }_2$ szögekre, $\omega$ középponti szöget ${\omega }_1$ és ${\omega }_2$ szögekre osztja. Vegyük észre, hogy (a $C$-t nem tartalmazó) $AD$ és $BD$ ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy ${\omega }_1=2{\alpha }_1$, illetve ${\omega }_2=2{\alpha }_2$. Ezeket az egyenleteket összeadva kapjuk, hogy ${\omega }_1+{\omega }_2=2{\alpha }_1+2{\alpha }_2$, vagyis $\omega =2({\alpha }_1+{\alpha }_2)=2\alpha$.

III. eset

A középponti szög nem esik a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába.

III. eset

Vegyük fel a $CO$ egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem $C$) metszéspontja legyen $D$. Legyen $DCA\mathrm{\angle }={\alpha }_1$, $DCB\mathrm{\angle }={\alpha }_2$, $DOA\mathrm{\angle }={\omega }_1$ és $DOB\mathrm{\angle }={\omega }_2$. Mivel (a $C$-t nem tartalmazó) $AD$ és $BD$ ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy ${\omega }_1=2{\alpha }_1$, illetve ${\omega }_2=2{\alpha }_2$, az első egyenletből a másodikat kivonva:

$\omega ={\omega }_2-{\omega }_1=2{\alpha }_2-2{\alpha }_1=2({\alpha }_2-{\alpha }_1)=2\alpha$.

IV. eset

IV. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög kisebb az egyenesszögnél. Legyen az ábra szerint $AB$ szakasz felezőpontja $F$. Ekkor, lévén $ABO$ háromszög egyenlő szárú, $OF$ szakasz két egyenlő szögre osztja $\omega$-t (az ábrán ${\omega }_1={\omega }_2=\frac{\omega }{2}$). Mivel $\alpha$ és ${\omega }_1$ merőleges szárú szögek, egyenlő nagyságúak, ezért $\omega =2\alpha$.

V. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög éppen egyenesszög.

V. eset

Ebben az esetben a kérdéses ívhez tartozó húr éppen a kör átmérője. Mivel az érintési pontba húzott sugár (és így az ezt tartalmazó átmérő is) merőleges az érintőre, $\alpha$ derékszög, ezért nyilvánvalóan $\omega =2\alpha$.

VI. eset

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög nagyobb az egyenesszögnél.

VI. eset

Legyen a kisebb $AOB\mathrm{\angle }$ jelölése ${\omega }^{\prime }$, amely biztosan kisebb az egyenesszögnél, és nagysága $360$°$-\omega$. Az ehhez a szöghöz tartozó érintő szárú kerületi szög az ábrán ${\alpha }^{\prime }$-vel jelölt szög, $\alpha$ kiegészítő szöge; nagysága $180$°$-\alpha$. A IV. esetben belátottak miatt

${\omega }^{\prime }=2{\alpha }^{\prime }$, vagyis

$360$°$-\omega =360$°$-2\alpha$, azaz

$\omega =2\alpha$.

Ezzel a tételt beláttuk. Q.E.D.

Kapcsolódó szócikkek

• Kerületi szög
• Középponti szög