Bernoulli-féle differenciálegyenlet

Bernoulli-féle differenciálegyenletnek nevezzük azt a közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű ($y\ne 0$), nemlineáris differenciálegyenletet, mely

$y^{\prime }+p(x)y=r(x)y^n$, ahol $n\in \mathbb{\mathbb{N}},n\ge 2$ (1) vagy $\frac{y^{\prime }}{y^n}+\frac{p(x)}{y^{n-1}}=r(x)$ (1*) alakokban írható fel.

Az $$\begin{gathered} y^{1-n} \\ =z(x) \end{gathered}$$új ismeretlen függvény bevezetésével kapjuk, hogy:

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$.

Az (1*) egyenlet a behelyettesítés után az

$\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+p(x)z=r(x)$

alakot veszi fel, amely a $z(x)$ függvényre nézve már elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenlet, amelynek általános megoldása a következő:

$z=y^{1-n}=e^{(n-1)\int p(x)\mathrm{d}x}(C_1+(1-n)\int r(x)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x)$.

Így tehát az (1) differenciálegyenlet általános megoldása:

$y=e^{(-1)\int p(x)\mathrm{d}x}(C_1+(1-n)\int r(x)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x{)}^{\frac{1}{1-n}}$, (2)

ha n>0, akkor az y=0 függvény is megoldása (1)-nek. Az egyenletet Jakob Bernoulliról (1655–1705) nevezték el.

Források

• A Bernoulli-féle differenciálegyenlet