Speciális lineáris csoport

Speciális lineáris csoportnak nevezzük és $SL(n,K)$-val (néha $S{L}_n(K)$-val) jelöljük a $K$ test feletti $n\times n$-es, 1 determinánsú mátrixok multiplikatív csoportját. Értelemszerűen $SL(n,K)$ elemei felfoghatóak a $K$ fölötti n dimenziós vektortér transzformációiként, és $SL(n,K)$ részcsoportja a $GL(n,K)$ általános lineáris csoportnak. Amennyiben $K$ véges test, $SL(n,K)$ helyett gyakran $SL(n,q)$-t írunk, ahol $q$ jelöli a $K$ test elemszámát (ilyenkor persze $q$ prímhatvány).

Példák

• $SL(2,\mathbb{ℝ})$ a sík terület- és irányítástartó lineáris transzformációinak a csoportja.
• $SL(2,3)$ a háromelemű test fölötti, 1 determinánsú $2\times 2$-es mátrixok csoportja.

Az alábbi ábra az $SL(2,3)$ csoport szorzótáblája. A zöld, piros és üres körök a háromelemű test elemeit reprezentálják: az üres kör jelöli nullelemet, a zöld az egységelemet, a piros pedig a 2=-1 elemet. A kis kétszer kettes kockák a háromelemű test feletti 1 detetminánsú $2\times 2$-es mátrixok, magának a csoportnak az elemei. Látható, hogy az $SL(2,3)$ rendje 24. A háttérszínek jelzik az egyes elemek rendjét:

• sötétszürke: 1
• világosszürke: 2
• sárga: 3
• kék: 4
• fehér: 6

Néhány konkrét véges speciális lineáris csoport

Alaptest rendje	Mátrixok rendje	Csoport szokásos elnevezése	Csoport rendje
$q$	1	triviális csoport	$1$
2	2	$S_3$, harmadfokú szimmetrikus csoport	$6=2\cdot 3$
3	2	$SL(2,3)$ speciális lineáris csoport	$24=2^3\cdot 3$
4	2	$A_5$ alternáló csoport	$60=2^2\cdot 3\cdot 5$
5	2	$SL(2,5)$ speciális lineáris csoport	$240=2^4\cdot 3\cdot 5$
2	3	$GL(3,2)$ általános lineáris csoport	$168=2^3\cdot 3\cdot 7$

A véges speciális lineáris csoportok rendje

$SL(n,q)$ elemszámának meghatározásához azt kell meggondolni, hogy az a leképezés, amely $GL(n,q)$ elemeihez a determinánsukat rendeli, homomorfizmus az általános lineáris csoportból a q elemű test nemnulla elemeinek szorzáscsoportjába, amely q-1 elemű. Ennek a homomorfizmusnak éppen $SL(n,q)$ a magja. Épp ezért

$|SL(n,q)|=\frac{|GL(n,q)|}{q-1}$

Az általános lineáris csoport elemszáma viszont ismert:

$|GL(n,q)|=\prod _{j=1}^n\left(q^n-q^{j-1}\right)$

és így

$|SL(n,q)|=\frac{\prod _{j=1}^n\left(q^n-q^{j-1}\right)}{q-1}$.

Források

• Vipul Naik: Special linear group. Groupprops. (Hozzáférés: 2013. november 5.)