Legendre-polinomok

A Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet partikuláris megoldásai. Speciális valós vagy komplex polinomok, amik ortogonális függvényrendszert alkotnak. Fontos szerepet játszanak az elméleti fizikában, különösen a kvantummechanikában és az elektrodinamikában. Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapták nevüket.

Származtatás

Ortogonális polinomok konstrukciója

Adva legyen az [a,b] intervallum, és egy rajta értelmezett $\varrho (x)$ súlyfüggvény. A $P_n\in \mathbb{ℝ}[X]$ valós polinomsorozat ortogonális, ha teljesíti az

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\varrho (x)P_n(x)P_m(x)\mathrm{d}x=0$

ortogonalitási relációt minden $m,n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ $m\ne n$-re. Az $I=[-1,1]$ intervallum a $\varrho (x)=1$ súlyfüggvénnyel ugyanazokat az ortogonális polinomokat adja, mint amiket a Gram-Schmidt ortogonalizáló eljárás iteratív alkalmazása a $(x^n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ monomokra, ha még az is teljesül, hogy $P_n(1)=1$.

Legendre-differenciálegyenlet

A $P_n(x)$ Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet megoldásai:

$(1-x^2)f^{″}-2x{f}^{\prime }+n(n+1)f=0,n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0,$

amelynek ekvivalens alakja

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[(1-x^2)f^{\prime }(x)]+n(n+1)f(x)=0$

A differenciálegyenlet megoldásának általános alakja

$f(x)=A{P}_n(x)+B{Q}_n(x)$

ahol $P_n(x)$ jelöli a Legendre-polinomokat, más néven az elsőfajú Legendre-függvényeket, és $Q_n(x)$ a másodfajú Legendre-függvényeket, amelyek nem polinomok.

Jellemzés

Az $n$-edik Legendre-polinom racionális együtthatós $n$-edfokú polinom. A Legendre-polinomok többféleképpen is számíthatók, és rekurzívan is előállíthatók. Minden gyökük valós, és az I = [ − 1,1] intervallumban van. P_n(x) két gyöke között van egy gyöke P_n+1(x)-nek. Továbbá

• $P_n(1)=1$
• $P_n(-x)=(-1{)}^n{P}_n(x)$
• $P_{2n+1}(0)=0$

Teljes ortogonális rendszer

A Legendre-polinomok teljes ortogonális rendszert alkotnak a $⟨f,g⟩=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x$ skalárszorzattal ellátott

$V:=L^2([-1,1];\mathbb{ℝ})$ Hilbert-téren.

Az ortogonalitás azt jelenti, hogy

$⟨P_n,P_m⟩=0$ minden $m\ne n$-re.

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_n(x)P_m(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{nm}$, ahol ${\delta }_{nm}$ a Kronecker-deltát jelöli. A teljesség azt jelenti, hogy minden $f\in V$ függvény végtelen sorba fejthető a Legendre-polinomok szerint:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{P}_n(x)$

a $c_n=\frac{2n+1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)P_n(x)\mathrm{d}x$ együtthatókkal. A fizikában és a technikai irodalomban sokszor disztribúciós értelemben tekintik a teljességet:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+1}{2}{P}_n(x^{\prime })P_n(x)=\delta (x^{\prime }-x),$

ahol $\delta$ a Dirac-deltát jelöli.

Előállítás

Generátorfüggvény

Minden $x\in \mathbb{ℂ}$, $z\in \mathbb{ℂ}$, $|z|<1$-re

$$\begin{gathered} (1-2xz+z^2{)}^{-1/2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(x)z^n \\ . \end{gathered}$$

Itt a jobb oldali hatványsor konvergenciasugara 1. Mindezek miatt a $z\mapsto (1-2xz+z^2{)}^{-1/2}$ függvényt a $P_n$ Legendre-polinomok generátorfüggvénye.

Rodrigues-formula

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\cdot \frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}[(x^2-1{)}^n]$

Egy alternatív képlet

$P_n(x)=\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}[x^n-\frac{n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}{x}^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}{x}^{n-4}\mp \cdots ]$

Előállítás integrálként

Minden $x\in \mathbb{ℂ}\setminus \{+1,-1\}$-re

$P_n(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{[x+\sqrt{x^2-1}\cos \phi ]}^n\mathrm{d}\phi$

Rekurziók

A Legendre-polinomokra teljesülnek a következő rekurziók:

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)(n=1,2,\dots )$

$(x^2-1)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{P}_n(x)=nx{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)$

Az első rekurzió n'=n+1 helyettesítéssel a következő alakba megy át:

$n{P}_n(x)=(2n-1)x{P}_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x)(n=2,3,\dots )$

Differenciálással $y^{\prime }=n{x}^{n-1}=n{x}^{-1}y$, illetve $y^{(m)}=(n-m+1)x^{-1}{y}^{(m-1)}$ Így adódik az a rekurzió, amely magába foglalja a Legendre-polinomok deriváltjait is:

$(n-m)P_n^{(m)}(x)=(2n-1)x{P}_{n-1}^{(m)}(x)-(n-1+m)P_{n-2}^{(m)}(x)(n,m=0,1,\dots )$

A kezdeti feltételek

$P_m^{(m)}(x)=\frac{(2m)!}{2^{m}m!}$ és $P_{m+1}^{(m)}(x)=\frac{(2m+1)!}{2^{m}m!}$ .

$m=0$-re ismét a fenti képlet adódik kezdeti feltételekkel együtt.

Aszimptotikus formulák

A generátorfüggvény szingularitás analíziséből a következő aszimptotikus formulákhoz juthatunk:

$P_n\left(\cos \theta \right)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi n\sin \theta }}\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta +\frac{\pi }{4}\right),$

$P_n\left(\cosh \theta \right)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi n\sinh \theta }}\sinh \left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta \right),$

amint $n\to +\mathrm{\infty }$, rögzített $\theta >0$ számra.

Az első Legendre-polinomok

Az első néhány Legendre-polinom

Az első néhány Legendre-polinom:

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$

$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$

$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

Másodfajú Legendre-függvények

A Legendre-polinomok rekurziós képletei a másodfajú Legendre-függvényekre is teljesülnek. Így az első Legendre-függvényből kiindulva

$Q_0(x)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$

$Q_1(x)=\frac{x}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)-1=x\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)-1$

$Q_2(x)=\frac{3x^2-1}{4}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)-\frac{3x}{2}$

$Q_3(x)=\frac{5x^3-3x}{4}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)-\frac{5x^2}{2}+\frac{2}{3}$

Források

• Abramowitz, M. ; Stegun, I. A. eds. (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover. (V. cap. 8 e cap. 22.)
• Byerly, WE (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics (cap. I e cap. V)
• Todhunter, I. (1875) An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions. MacMillan (v. pp. 7-117)
• Heine, E. (1878) Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen (primera parte). Reimer.
• Heine, E. (1881) Handbuch der Kugelfunctionen Theorie und Anwendungen (seconda parte). Reimer.
• I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik - Table of Integrals, Series and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press, ISBN 0-12-294757-6.
• Rogai, E. - Tabele şi formule matematice, Editura Tehnică, Bukarest, 1984