Hermite-polinomok

Az Hermite-polinomok olyan polinomok, amelyek kielégítik a következő differenciálegyenletet:

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{e}^{-x^2}$

Ekvivalens alakban

$H_n(x)=e^{x^2/2}{(x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}})}^n{e}^{-x^2/2}$

Explicit alak

Az Hermite-polinomok explicit alakban is megadhatók Faà di Bruno képlete szerint:

$H_n(x)=(-1{)}^n\sum _{k_1+2k_2=n}\frac{n!}{k_1!k_2!}(-1{)}^{k_1+k_2}(2x{)}^{k_1}$

Az első néhány Hermite-polinom

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=2x$

$H_2(x)=(2x{)}^2-2=4x^2-2$

$H_3(x)=(2x{)}^3-6(2x)=8x^3-12x$

$H_4(x)=(2x{)}^4-12(2x{)}^2+12=16x^4-48x^2+12$

Rekurziós formula

Az Hermite-polinomok a következő rekurzióval számíthatók:

$H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-2n{H}_{n-1}(x)$

${H_n}^{\prime }(x)=2n{H}_{n-1}(x)$

Tulajdonságok

Mivel minden iterációs lépésben $x$-szel vett szorzat szerepel, azért látszik, hogy $H_n(x)$ n-edfokú, és főegyütthatója $2^n$. Páros n-re $H_n(x)$ páros függvény, páratlan n-re páratlan. Vagyis

$H_n(-x)=(-1{)}^n\cdot H_n(x)$

Egy másik lehetőség a definícióra:

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2/2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{e}^{-x^2/2}.$

Az Hermite-polinomok kielégítik a következő differenciálegyenletet:

$y^{″}+x{y}^{\prime }+ny=0.$

Rekurziós formula:

$H_{n+1}(x)=x{H}_n(x)-n{H}_{n-1}(x)$

Ortogonális rendszer

Az Hermite-polinomok teljesítik ezt az ortogonalitási relációt:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\cdot H_n(x)\cdot H_m(x)dx=2^n\cdot n!\cdot \sqrt{\pi }\cdot {\delta }_{nm}.$

Ez azt jelenti, hogy bizonyos valós függvények sorba fejthetők az Hermite-polinomok szerint.

Történetük

A Hermite-polinomokat először Pierre-Simon Laplace definiálta 1810-ben szinte felismerhetetlen formában. Részletesen aztán Pafnutyij Csebisev tanulmányozta őket 1859-ben. Csebisev munkája akkoriban elkerülte a figyelmet, és ezért később Charles Hermite után nevezték el őket, aki 1864-ben írt a polinomokról mint új felfedezésről. Mindazonáltal nem voltak újak, bár Hermite volt az első, aki a többdimenziós polinomokat definiálta.

Alkalmazásuk

Az Hermite-polinomok sokoldalú fizikai alkalmazásaik által válnak jelentőssé. Példa: a kvantummechanikai harmonikus oszcillátor ortonormált megoldásfüggvényeinek előállítása. Ezek az Hermite-függvények, amik a normális eloszlás eloszlásfüggvényével szorozva és megfelelően normálva kaphatók az Hermite-polinomokból.

Források

• I. N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. kiadás. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 ISBN 3-8171-2005-2 (Magyarul: Bronstejv-Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv (Műszaki, 1987) ISBN 963 10 53 09 1)
• Milton Abramowitz és Irene Stegun: Pocketbook of Mathematical Functions
• Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill
• Eric W. Weisstein. „Hermite Polynomial.“ From MathWorld – A Wolfram Web Resource (angolul)
• A Bad Saulgau tanulói kutatóközpont jegyzete