Fermat–Catalan-sejtés

A számelméletben a Fermat–Catalan-sejtés a nagy Fermat-tétel és a Catalan-sejtés kombinációja. Nevét is ez alapján kapta. A sejtés szerint az

$a^m+b^n=c^k$

(Eq.1)

egyenletnek véges sok (a,b,c,m,n,k) megoldása van, ahol mindegyik szám pozitív egész, és a, b, c relatív prímek, és az m, n, k hármasra

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.$

(Eq.2)

.

2008-ban az (Eq.1) egyenletnek ezek a megoldási voltak ismertek:

$1^m+2^3=3^2$

$2^5+7^2=3^4$

$13^2+7^3=2^9$

$2^7+17^3=71^2$

$3^5+11^4=122^2$

$33^8+1549034^2=15613^3$

$1414^3+2213459^2=65^7$

$9262^3+15312283^2=113^7$

$17^7+76271^3=21063928^2$

$43^8+96222^3=30042907^2$

Ezek közül az első (1^m+2³=3²) megoldása egyértelmű, ha a, b és c egyike 1; ez a Catalan-sejtés, ma már tétel, amit 2002-ben Preda Mihăilescu igazolt. Ugyan ez az (Eq.1) egyenletre végtelen sok megoldást ad, mivel m bármilyen 6-nál nagyobb egész szám lehet, de minden ilyen megoldása viszont már egyértelmű. A Faltings-tétel szerint minden rögzített m, n és k egészre, ami eleget tesz az (Eq.2) egyenletnek, véges sok, az (Eq.1) egyenletet megoldó (a, b, c) relatív prím hármas létezik, de a teljes Fermat–Catalan-sejtés ennél többet állít. Az abc-sejtés implikálja a Fermat–Catalan-sejtést. A Beal-sejtés azt állítja, hogy a Fermat–Catalan-sejtés minden megoldásában szerepel a 2 mint kitevő.