Lévy-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Lévy-eloszlás olyan folytonos valószínűség-eloszlás, mely nem negatív valószínűségi változókra érvényes. Az eloszlás Paul Pierre Lévy francia matematikusról kapta a nevét. A Lévy-eloszlás az inverz gamma-eloszlás speciális esete. A Lévy-eloszlás azon kevés eloszlások közé tartozik, melyeket stabil eloszlásnak neveznek. Ilyenek még a normális eloszlás, és a Cauchy-eloszlás, melyeknek általában nincs analitikusan kifejezhető valószínűség sűrűségfüggvényük.

Sűrűségfüggvény különböző c-kre

Alkalmazása

• Geomágneses jelenségek közel Lévy-eloszlást követnek
• A Brown mozgáskor egy pont Lévy-eloszlás szerint mozog
• Zavaros közegben egy foton pályája Lévy-eloszlást mutat

Definíció

A sűrűségfüggvény a $x\ge \mu$ tartományban:

$f(x;\mu ,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu )}}}{(x-\mu {)}^{3/2}}$

ahol $\mu$ a helyparaméter, és $c$ a skálaparaméter. A kumulatív eloszlásfüggvény:

$F(x;\mu ,c)=\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">erfc</mrow>}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu )}}\right)$

ahol $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">erfc</mrow>}(z)$ a hibafüggvény. A $\mu$ helyparaméter hatására a görbe $\mu$ értékkel eltolódik jobbra. A Lévy-eloszlásnak, mint minden stabil eloszlásnak, van egy standard formája f(x;0,1), melynek a következő jellemző tulajdonsága van:

$f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy$

ahol y:

$y=\frac{x-\mu }{c}$

A karakterisztikus függvény:

$\phi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}.$

A stabil eloszlásoknál a karakterisztikus függvényt $\alpha =1/2$, és $\beta =1$ esetekre fel lehet írni:

$\phi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct{|}^{1/2}(1-i\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sign</mrow>}(t))}.$

Feltételezve, hogy a $\mu =0$, az nik momentum az eltolatlan Lévy-eloszlásnál:

$$\begin{gathered} m_n \\ \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=} \\ \sqrt{\frac{c}{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-c/2x}{x}^n}{x^{3/2}}dx \end{gathered}$$

mely divergál minden n> 0 esetében, így a Lévy-eloszlás momentumai nem léteznek. A momentum generáló függvény:

$$\begin{gathered} M(t;c) \\ \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=} \\ \sqrt{\frac{c}{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}dx \end{gathered}$$

mely t>0-nál divergál, ezért nem definiálható zéró közeli tartományokban, és ezért nem definiálható saját magában. Mint minden stabil eloszlásnál, kivéve a normális eloszlást, a sűrűségfüggvény “szárnyai” viselkedése:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x;\mu ,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\frac{1}{x^{3/2}}.$

Ezt az alábbi ábra mutatja, ahol a sűrűségfüggvény látható különböző c és $\mu =0$ értékek mellett, log-log ábrázolásban:

Sűrűségfüggvény különböző c értékeknél

Kapcsolódó eloszlások

• Ha $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Levy</mrow>}(\mu ,c)$, akkor $kX+b\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Levy</mrow>}(k\mu +b,kc)$
• Ha $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Levy</mrow>}(0,c)$, akkor $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Inv<mo stretchy="false">−</mo>Gamma</mrow>}(\frac{1}{2},\frac{c}{2})$ (inverz gamma eloszlás)
• A Lévy-eloszlás 5. tipusú Pearson-eloszlás
• Ha $Y\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Normal</mrow>}(\mu ,{\sigma }^2)$ (Normális eloszlás), akkor ${(Y-\mu )}^{-2}\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Levy</mrow>}(0,1/{\sigma }^2)$
• Ha $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Normal</mrow>}(\mu ,\frac{1}{\sqrt{\sigma }})$ , akkor ${(X-\mu )}^{-2}\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Levy</mrow>}(0,\sigma )$
• Ha $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Levy</mrow>}(\mu ,c)$, akkor $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Stable</mrow>}(1/2,1,c,\mu )$ (Stabil eloszlás)
• Ha $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Levy</mrow>}(0,c)$ akkor $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Scale<mo stretchy="false">−</mo>inv<mo stretchy="false">−</mo></mrow>}{\chi }^2(1,c)$ (Skálázott inverz khí-négyzet eloszlás)
• Ha $X\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Levy</mrow>}(\mu ,c)$, akkor ${(X-\mu )}^{-\frac{1}{2}}\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">FoldedNormal</mrow>}(0,1/\sqrt{c})$ (Féloldalas normális eloszlás)

Jellemzők

• Tartomány =$x\in [\mu ,\mathrm{\infty })$
• Sűrűségfüggvény =$\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu )}}}{(x-\mu {)}^{3/2}}$
• Kumulatív eloszlás f. =$\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">erfc</mrow>}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu )}}\right)$
• Várható érték =$\mathrm{\infty }$
• Medián =$c/2({\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">erfc</mrow>}}^{-1}(1/2){)}^2$, for $\mu =0$
• Módusz =$\frac{c}{3}$, for $\mu =0$
• Szórásnégyzet =$\mathrm{\infty }$
• Ferdeség =nem definiált
• Lapultság = nem definiált
• Entrópia =$\frac{1+3\gamma +\ln (16\pi c^2)}{2}$

ahol $\gamma$ az Euler-állandó

• Momentgeneráló függvény = nem definiált
• Karakterisztikus függvény=$e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}$

Irodalom

1. * Rogers, Geoffrey L: Multiple path analysis of reflectance from turbid media. (hely nélkül): Journal of the Optical Society of America A, 25:11. 2008. 2879–2883. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Normális eloszlás

Jegyzetek

• Adatok Archiválva 2006. október 30-i dátummal a Wayback Machine-ben