Disztribúció (matematika)

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer differenciálható függvények $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

1. Van $K$ része $\mathrm{\Omega }$, supp ${\varphi }_j$, supp $\varphi$ része $K$
2. Tetszőleges $\alpha$ indexvektor esetén ${\partial }^{\alpha }{\varphi }_j\to {\partial }^{\alpha }\varphi$ egyenletesen $\mathrm{\Omega }$-n.

Azért vezetik be őket, hogy egy nagyobb függvényosztályon kereshessék a parciális differenciálegyenletek megoldását.

Példák

1. Legyen az $f$ függvény értelmezve az $\mathrm{\Omega }$ halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán. Legyen $T_f$ az a funkcionál, ami a $\varphi$ függvényhez az $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f$ $d\varphi$ értéket rendeli. Ekkor $T_f$ disztribúció. Az ilyen alakban előálló disztribúciókat reguláris disztribúcióknak nevezik.
2. A Dirac-féle delta disztribúciót így értelmezik: Legyen $a\in \mathrm{\Omega }.$ Rendelje a ${\delta }_a$ funkcionál a $\varphi$ függvényhez a $\varphi (a)$ helyettesítési értéket. Ekkor ${\delta }_a$ nem reguláris disztribúció.
3. Legyen az $f$ függvény értelmezve az $\mathrm{\Omega }$ halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán, és legyen $\beta$ rögzített indexvektor. Értelmezzük a következő funkcionált: rendelje a $\varphi$ függvényhez az $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f{\partial }^{\beta }\varphi$ értéket.

Tétel: A reguláris disztribúció $T_f$ majdnem mindenütt egyértelműen meghatározza az $f$ függvényt.

Műveletek

Összeadás: $u,v$ disztribúció $\mathrm{\Omega }$-n; ekkor $(u+v)(\varphi )=u(\varphi )+v(\varphi )\varphi \in D(\mathrm{\Omega })$ Számmal szorzás: $(\lambda u)(\varphi )=\lambda u(\varphi )$ Ezekkel a műveletekkel a disztribúciók vektorteret alkotnak. Jelölés: $D^{\prime }(\mathrm{\Omega })$ Konvergencia: legyenek $u_j,u$ disztribúciók; ekkor $u_j\to u,$ ha minden rögzített $\varphi$-re $u_j(\varphi )\to u(\varphi )$ Függvénnyel szorzás: legyen $\psi \in C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$; ekkor $(\psi u)(\varphi )=u(\psi \varphi )$ $u=v$ lokálisan, ha minden $x\in (\mathrm{\Omega })$ elemhez van $U(x)$ nyílt környezete, ahol $u=v$ Tétel: ha két disztribúció lokálisan egyenlő, akkor globálisan is egyenlők. Azaz, ha van egy nem üres nyílt halmaz, ahol egyenlőek, akkor mindenütt egyenlőek. Deriválás: $u$ disztribúció; ${\partial }_{j}u(\varphi )=-u({\partial }_j\varphi )$ Direkt szorzat: $u,v$ disztribúciók; $(u\times v)(\varphi )=u[x\to v(y\to \varphi (x,y))]$ tulajdonságai: (betű szemlélettel) kommutatív, asszociatív, disztributív és lineáris Konvolúció: tekintsük a következő konvergenciát: def$.({\varphi }_k)$ * értelemben → azonosan 1-hez, ha

1. minden $\alpha$ esetén ${\partial }^{\alpha }(\varphi -1)\to 0$ egyenletesen ${\mathbb{ℝ}}^{2n}$ minden rögzített kompakt részhalmazban
2. minden $\alpha$ indexvektorhoz van $c_{\alpha }$ $|\partial {\varphi }_k(y,z)|⩽c_{\alpha }$ minden $k,$ minden $(y,z)$-re.

Definíció: $(u*v)(\varphi )=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(u\times v)[(y,z)\to {\psi }_k(y,z)\varphi (y+z)]$ A konvolúció nem mindig létezik.

Források

• L. Simon, E.A. Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, 1983, ISBN 963 17 6580 6.

További információk

• W. Preuss, A. Bleyer, H. Preuss: Disztribúcióelmélet műszaki alkalmazásokkal, Műszaki Könyvkiadó, 1986, ISBN 2399963341236