Anger-függvény

A matematikában az Anger-függvény szorosan kapcsolódik a Bessel-függvényekhez. Az Anger-függvényt Carl Theodor Anger német matematikusról (1803–1858) nevezték el. A függvény definíciója:

${\mathbf{J}}_{\nu }(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (\nu \theta -z\sin \theta )d\theta$

Weber-függvény

A Weber-függvény definíciója:

${\mathbf{E}}_{\nu }(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (\nu \theta -z\sin \theta )d\theta$

A függvényt Heinrich Friedrich Weber (1843 -1912), német fizikusról nevezték el. A függvény szoros kapcsolatban van a II. fajú Bessel-függvénnyel. A Weber-függvény Lommel–Weber-függvényként is ismert.

Kapcsolat a Weber-, és az Anger-függvény között

A kapcsolat:

$\sin (\pi \nu ){\mathbf{J}}_{\nu }(z)=\cos (\pi \nu ){\mathbf{E}}_{\nu }(z)-{\mathbf{E}}_{-\nu }(z)$

$-\sin (\pi \nu ){\mathbf{E}}_{\nu }(z)=\cos (\pi \nu ){\mathbf{J}}_{\nu }(z)-{\mathbf{J}}_{-\nu }(z)$

Ha ν nem egész, akkor kifejezhetők egymás lineáris kombinációjaként . Ha ν egész, akkor az Anger-függvény J_ν, megegyezik a J_ν, Bessel-függvénnyel, és a Weber-függvény kifejezhető, mint a Struve-függvény véges lineáris kombinációja. A Weber-, és az Anger-függvények a Bessel-függvények inhomogén formáinak $z^2{y}^{\prime \prime }+z{y}^{\prime }+(z^2-{\nu }^2)y=0$ a megoldásai. Az Anger-függvény kielégíti a következő egyenletet:

$z^2{y}^{\prime \prime }+z{y}^{\prime }+(z^2-{\nu }^2)y=(z-\nu )\sin (\pi z)/\pi$

és a Weber-függvény kielégíti a:

$z^2{y}^{\prime \prime }+z{y}^{\prime }+(z^2-{\nu }^2)y=-((z+\nu )+(z-\nu )\cos (\pi z))/\pi .$

egyenletet.

Irodalom

• Reiman István: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2011. ISBN 978-963-279-300-9  
• Lizorkin, P.I: Bessel function. (hely nélkül): Springer. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4  

Kapcsolódó szócikkek

• Differenciálegyenlet
• Bessel-függvény
• Matematikai statisztika
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Anger_function
• http://dlmf.nist.gov/11.10