Schur-egyenlőtlenség

A Schur-egyenlőtlenség, melyet Issai Schurról neveztek el, azt mondja ki, miszerint minden nemnegatív valós x, y, z-re és pozitív t-re,

$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$,

ahol az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x = y = z vagy kettő egyezik és a harmadik 0. Ha t egy páros pozitív egész, akkor az egyenlőtlenség minden x, y, z valósra teljesül. Amikor $t=1$, a következő közismert egyenlőtlenséget kaphatjuk:

$x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)$

Bizonyítás

Mivel az egyenlőtlenség szimmetrikus x, y, z-re, vehetjük úgy, hogy $x\ge y\ge z$. Ekkor a

$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z)\ge 0$

egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül, hiszen minden tagja legalább 0. Ez pedig átrendezhető a Schur-egyenlőtlenségre.

Általánosítás

A Schur-egyenlőtlenség egy általánosítása a következő: Legyenek a, b, c pozitív valós számok. Ha (a,b,c) és (x,y,z) ugyanúgy rendezettek, akkor:

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\ge 0.$

2007-ben Valentin Vornicu román matematikus megmutatta, miszerint az alábbi, még általánosabb egyenlőtlenség teljesül: Legyen $a,b,c,x,y,z\in \mathbb{ℝ}$, ahol $a\ge b\ge c$, és vagy $x\ge y\ge z$ vagy $z\ge y\ge x$. Legyen $k\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}^{+}$, és legyen $f:\mathbb{ℝ}\to {\mathbb{ℝ}}_0^{+}$ vagy konvex vagy monoton. Ekkor,

$f(x)(a-b{)}^k(a-c{)}^k+f(y)(b-a{)}^k(b-c{)}^k+f(z)(c-a{)}^k(c-b{)}^k\ge 0.$

Ezen egyenlőtlenség azon formája, mely a Schur-egyenlőtlenséget adja: x = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = m^r.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Schur's inequality című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.