Hölder-egyenlőtlenség

A Hölder-egyenlőtlenség a következő állítás: ha $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n$ nemnegatív valós számok, $p,q>1$, továbbá $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ teljesül, akkor

$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\le {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^q\right)}^{1/q}$

Egyenlőség akkor teljesül, ha valamelyik sorozat konstansszorosa a másiknak, tehát például van olyan $\lambda$, hogy $b_i^q=\lambda a_i^p$ minden i-re. A tétel $p=q=2$-re vonatkozó esete a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség.

Bizonyítása

Legyen

$A=\sum _{i=1}^n{a}_i^p,B=\sum _{i=1}^n{b}_i^q$

továbbá

$x_i=\frac{a_i^p}{A},y_i=\frac{b_i^q}{B}(i=1,\dots ,n).$

Ekkor tehát $x_1+\cdots +x_n=y_1+\cdots +y_n=1$ és azt kell igazolnunk, hogy

$S=\sum _{i=1}^n{x}_i^{\frac{1}{p}}{y}_i^{\frac{1}{q}}\le 1.$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség súlyozott formája miatt minden i-re

$x_i^{\frac{1}{p}}{y}_i^{\frac{1}{q}}\le \frac{1}{p}{x}_i+\frac{1}{q}{y}_i$

ezeket összeadva azt kapjuk, hogy

$S\le \frac{1}{p}\sum _{i=1}^n{x}_i+\frac{1}{q}\sum _{i=1}^n{y}_i=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

Egyenlőség akkor van, ha $x_i=y_i$ minden i-re, azaz $b_i^q=\lambda a_i^p$, ahol $\lambda =B/A$.

Története

Először Rogers igazolt egy ekvivalens állítást 1888-ban, majd Hölder, szintén különböző, de ekvivalens formában, 1889-ben. Mai formájában Riesz Frigyes mondta ki 1910-ben.