Koordinátatér

Két dimenzióban a koordinátatér azokból a síkvektorokból áll, amelyek kiindulópontja az origó

A matematikában a koordinátatér vagy standard vektortér egy adott test elemeiből álló $n$-esek halmaza, komponensenkénti összeadással és skalárral szorzással ellátva. A koordinátatér elemei koordinátavektorok. A koordinátatér standard bázisa kanonikus egységvektorokból áll. A koordinátaterek közötti lineáris leképezéseket mátrix (matematika)ok ábrázolják. A lineáris algebrában a koordinátatereknek különleges jelentőségük van, mivel minden véges dimenziós vektortér izomorf egy koordinátatérrel. A két- és háromdimenziós valós koordinátaterek gyakran szolgálnak az euklideszi sík és az euklideszi háromdimenziós tér modelljeként. Ekkor elemeiket egyszerre tekintjük pontoknak és vektoroknak.

Definíció

Egy (x,y,z) koordinátavektor, mint helyvektor a háromdimenziós valós koordinátatérben

Legyen $K$ test, $n$ egy természetes szám, ekkor az

$K^n=\{(x_1,\dots ,x_n)\mid x_1,\dots ,x_n\in K\}$

$n$-szeres Descartes-szorzat az összes $(x_1,\dots ,x_n)$ $n$-es halmaza, ahol a koordináták $K$-beliek. Ehhez bevezetjük az $+:K^n\times K^n\to K^n$ komponensenkénti összeadást:

$(x_1,\dots ,x_n)+(y_1,\dots ,y_n)=(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n)$

illetve a $\cdot :K\times K^n\to K^n$ skalárral szorzást:

$a\cdot (x_1,\dots ,x_n)=(a\cdot x_1,\dots ,a\cdot x_n)$.

Ezzel megkapjuk a $(K^n,+,\cdot )$ vektorteret, melyet nevezünk koordinátatérnek, standard vektortérnek vagy a $K$ test fölötti $n$ dimenziós vektortérnek.

Ábrázolás oszlopvektorokkal

A koordinátavektorokat gyakran oszlopvektorokként jelölik. A vektorok összeadása és a skalárral szorzás megfelel a soronkénti összeadásnak és a soronkénti skalárral szorzásnak:

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ ⋮\\ x_n+y_n\end{array}\right),a\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\cdot x_1\\ ⋮\\ a\cdot x_n\end{array}\right)$.

Ezek a műveletek megfelelnek a mátrixok összeadásának és a mátrixok skalárral szorzásának egyoszlopos mátrixok esetén.

Példák

Kér vektor összeadása az euklidészi síkon (fent) és egy vektor szorzása a kettővel, mint skalárral (lent)

Egyik gyakran használt példa a valós számok fölött megalkotott koordinátatér. Az egydimenziós ${\mathbb{ℝ}}^1$ tér esetén a vektortérben definiált összeadás és skalárral szorzás megfelel a valós számok összeadásának és szorzásának. A kétdimenziós valós ${\mathbb{ℝ}}^2$ koordinátatérben a számpárok értelmezhetők az euklidészi sík helyvektoraiként. Ekkor a két koordináta éppen a helyvektor végpontjának Descartes-koordinátái. Ezzel az

$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{v}_1+w_1\\ v_2+w_2\end{array}\right)$

összeadás a hozzátartozó vektorok összeadása, és a

$a\cdot \overrightarrow{v}=a\cdot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\cdot v_1\\ a\cdot v_2\end{array}\right)$

skalárral szorzás a megfelelő vektor $a$-szorosára nyújtásának. Mindkét művelet eredménye szintén vektor a síkon. Hasonlóan, a valós ${\mathbb{ℝ}}^3$ háromdimenziós koordinátatér értelmezhető a háromdimenziós euklideszi tér helyvektorai. Magasabb dimenzióban a dolog hasonlóan működik, még ha kevésbé szemléletes is.

Tulajdonságok

Neutrális elem és ellentett

A koordinátatér neutrális eleme az

$(0,\dots ,0)$

nullvektor, ahol $0$ a $K$ test nulleleme. Egy $(x_1,\dots ,x_n)$ vektor ellentettje az $(-x_1,\dots ,-x_n)$ vektor, ahol $-x_i$ rendre az $x_i$ koordináta ellentettje a $K$ testben.

Vektortér axiómák

A koordinátatér vektortér. Legyenek $x,y,z\in K^n$ koordinátavektorok, $a,b\in K$ skalárok; ekkor teljesülnek a következők:

• asszociativitás: $x+(y+z)=(x+y)+z$
• kommutativitás: $x+y=y+x$,
• vegyes asszociativitás: $a\cdot (b\cdot x)=(a\cdot b)\cdot x$
• disztributivitások: $a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y$ és $(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x$
• az egységelem neutralitása: $1\cdot x=x$, ahol $1$ a $K$ test egységeleme.

Mindezek a $K$ test műveleteinek tulajdonságaiból adódnak, amelyeket az egyes koordinátákra alkalmazunk.

Bázis

A koordinátatér standard bázisa a kanonikus egységvektorokból áll:

$\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}=\{(1,0,\dots ,0),(0,1,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)\}$,

ezek lineáris kombinációjával minden $x\in K^n$ vektor kifejezhető:

$x=x_1\cdot e_1+\cdots +x_n\cdot e_n$

A koordinátatér dimenziója:

$\dim (K^n)=n$.

Bázistranszformációval további bázisokhoz juthatunk. Egy $(n\times n)$-es mátrix sorai és oszlopai akkor alkotják a $K^n$ koordinátatér bázisát, ha a mátrix invertálható, vagyis teljes rangú.

Lineáris leképezések

Két, azonos test fölötti koordinátatér közötti lineáris leképezések egyértelműen megfeleltethetők az adott test fölötti mátrixoknak: Legyen $A\in K^{m\times n}$ mátrix $m$ sorral és $n$ oszloppal, ekkor a mátrix-vektor szorzás definiál egy

$f_A:K^n\to K^m,f_A(x)=A\cdot x$

lineáris leképezést. Megfordítva, minden $f:K^n\to K^m$ lineáris leképezéshez tartozik egyértelműen egy $A_f\in K^{m\times n}$ mátrix, úgy, hogy $f(x)=A_f\cdot x$ minden $x\in K^n$-re. $A_f$ oszlopai ekkor a standard bázis vektorainak képei:

$A_f=(f(e_1)\mid \cdots \mid f(e_n))$.

A mátrixok a mátrixösszeadással és a skalárral szorzással szintén vektorteret alkotnak, a mátrixteret.

Izomorfizmus

Ha $V$ egy $K$ fölötti $n$-dimenziós vektortér, akkor izomorf a $K^n$ koordinátatérrel,

$V\cong K^n$.

Ugyanis válasszunk egy $\{b_1,\dots ,b_n\}$ bázist $V$-ben, így minden $v\in V$ vektor előáll, mint

$v=c_1\cdot b_1+\cdots +c_n\cdot b_n$

ahol $c_1,\dots ,c_n\in K$. Ezzel minden $v\in V$ vektor reprezentálható, mint $(c_1,\dots ,c_n)\in K^n$. Megfordítva, minden koordináta-$n$-es pontosan egy vektornak felel meg a bázis vektorainak lineáris függetlensége miatt. Tehát a

$K^n\to V,(c_1,\dots ,c_n)\mapsto c_1\cdot b_1+\cdots +c_n\cdot b_n$

leképezés bijektív, és mivel lineáris is, izomorfizmus a két vektortér között. Mivel így minden $K$ test fölötti $n$ dimenziós vektortér izomorf a $K^n$ koordinátatérrel, azért minden ugyanazon test fölötti, ugyanazon dimenziós vektortér izomorf egymással. Más szavakkal, a vektorterek izomorfia erejéig jellemezhetők alaptestükkel és dimenziójukkal. A véges dimenziós vektortereknek ez az azonosítása a koordinátatérrel magyarázza a standard tér elnevezést. Konkrét számolások esetén a koordinátavektorokkal számolnak, ám elméleti szinten inkább alaptestükkel és dimenziójukkal jellemzett absztrakt terekkel foglalkoznak, mivel nem akarnak egy már eleve kiválasztott bázis/koordináta-rendszer mentén érvelni.

Gazdagabb struktúrák

A koordinátatér a következő struktúrákká fejleszthető:

• Egy valós vagy komplex vektorteret ellátunk egy skalárszorzattal, például standard skalárszorzattal, akkor skalárszorzatos vektorteret kapunk. Mivel itt az indukált metrika teljes, azért rögtön Hilbert-teret kapunk.
• Egy valós vagy komplex vektorteret ellátunk egy vektornormával, például euklidészi vagy más p-normával, ekkor normált teret kapunk. Az indukált metrikával Banach-tér.
• Egy valós vagy komplex vektorteret ellátunk egy topológiával, például a standard topológiával. Így topologikus vektorteret kapunk, amennyiben az összeadás és a skalárral szorzás folytonos a topológiában.

Források

• Gerd Fischer. Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger. Springer (2008) 
• Herbert Amann, Joachim Escher. Analysis I. Springer (2006) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Koordinatenraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.