Radián

A radián definíciója egységkörben: $\alpha =b$

A radián v. ívmérték a síkszögek egyik mértékegysége, amelyet a rad szimbólummal jelölnek. Dimenzió nélküli mennyiség, mivel két hosszúság hányadosa. A radiánt jelenleg az SI származtatott egységekhez sorolják (korábban kiegészítő egységnek számították). A térszögek egysége a szteradián. A matematikusok a szöget általában radiánban mérik, és a jelölést elhagyják. Ha fokot használnak, azt a ° jellel különböztetik meg. Például $1\approx 57,345^{\circ }$, $1=57^{\circ }17^{\prime }44,81^{″}=57,29577951..{.}^{\circ }$.

Definíció

1 radián az a szög, amely alatt a sugárral megegyező nagyságú ívhossz a középpontból látszik. Másképp: Vegyünk fel egy tetszőleges sugarú (R) körben egy középponti szöget! Ennek a szögnek az ívmértéke (radiánban mért értéke) legyen egyenlő az ív (i) és a sugár hosszának hányadosával. φ=i/R.

Számítása

Egy kör középponti szögének radiánban mért értéke kiszámolható, ha a hozzá tartozó ívhosszat elosztjuk a sugárral. Egységnyi sugarú körben 1 radián annak a szögnek az ívmértéke, amelyhez éppen 1 hosszegységnyi körív tartozik. Egységkörben ezért a középponti szögek ívmértékének és ívhosszának mérőszáma mindig megegyezik. Ez meglehetősen kényelmessé teszi pl. a trigonometriai jellegű számításokat.

Átszámítás

A radiánból fokokba való átszámítás azon az elemi geometriai tételen alapul, miszerint a kör középponti szögei és azok ívhossza egyenesen arányos, azaz $\alpha \sim i$. Tudjuk, hogy a $\pi$ radián $180^{\circ }$. Legyen $a$ radián egyenlő $\alpha$ fokkal!

$\begin{array}{r}\pi =180^{\circ }\\ a=\alpha .\\ \end{array}$

Ebből már a keresztbe szorzás módszerével ki tudjuk fejezni

$\alpha$

-t:

$\alpha =\frac{a\cdot 180^{\circ }}{\pi }.$

Honnan tudjuk, hogy a

$\pi$

radián 180 fok? A szöghöz tartozó ív és sugár hányadosa megmutatja, hogy a szög hány radián, tehát

$\beta =\frac{i}{r}$

. A körívet tekintsük a 360 fokhoz tartozó ívnek, ekkor

$i=2r\pi$

, a sugarat pedig vegyük egységnyinek.

$\beta =\frac{i}{r}=\frac{2\cancel{r}\pi }{\cancel{r}}=2\pi$

Tehát azt kapjuk, hogy a teljesszög (360°) ívmértéke

$2\pi$

. A

$\pi$

pedig a

$2\pi$

fele, tehát 180°.

Története

A szögnek az ívhosszal való mérésének elvét talán Roger Cotes-nak köszönhetjük (1714). Nála már minden ismert volt a radiánnal kapcsolatban, a nevét kivéve. Felismerte, hogy ez egy természetes szögmérték. A radián kifejezés először 1873. június 5-én jelent meg nyomtatásban James Thomson (Queen's College, Belfast) által felvetett kérdések vizsgálata során. James Thomson Lord Kelvin bátyja volt. Ő már 1871-ben használta a kifejezést, míg 1869-ben Thomas Muir (St. Andrew's University) még habozott, hogy a rad, radial vagy radian alakot használja-e. 1874-ben Muir a radiánt fogadta el, miután konzultált James Thomsonnal.

Kapcsolódó szócikkek

• Középponti szög