Annihilátor (gyűrűelmélet)

Az annihilátor vagy annullátor a matematikában, azon belül a moduluselméletben a torziót illetve ortogonalitást általánosító fogalom.

Definíció

Legyen $R$ egy gyűrű, $M$ egy $R$-balmodulus, $\mathrm{\varnothing }\ne S\subseteq M$ egy nemüres részhalmaz. Ekkor az $S$ halmaz annihilátora

${\mathrm{Ann}}_R(S)=\{r\in R\mid \mathrm{\forall }s\in S:rs=0\}$.

Ez azon $R$-beli elemek halmaza, amik „annihilálják” $S$-et. A definíció balmodulus helyett jobbmodulusra is alkalmazható, ekkor $rs=0$ helyett értelemszerűen $sr=0$ írandó. Egyetlen $x\in M$ elem annihilátorát rendszerint ${\mathrm{Ann}}_R(\{x\})$ helyett a rövidebb ${\mathrm{Ann}}_R(x)$ jelöli. Továbbá ha a kontextusból világos, hogy mely gyűrű feletti modulusról van szó, az $R$ index elhagyható. Mivel $R$ modulus önmaga felett, $S$ vehető $R$ egy részhalmazának is. Azonban mivel $R$ egyszerre bal- és jobbmodulus is önmaga felett, a jelölésből egyértelműnek kell lennie, hogy éppen melyik oldali modulusról, és így melyik oldali annihilátorról van szó. Erre például az $\ell .{\mathrm{Ann}}_R(S)$ illetve $r.{\mathrm{Ann}}_R(S)$ jelölések használhatók (ahol $\ell$ a bal (left), $r$ a jobb (right) rövidítése). Ha az $M$ $R$-modulusra ${\mathrm{Ann}}_R(M)=0$, akkor $M$-et hűséges modulusnak nevezzük.

Tulajdonságok

Ha $M$ egy $R$-balmodulus és $\mathrm{\varnothing }\ne S\subseteq M$, akkor ${\mathrm{Ann}}_R(S)$ balideál $R$-ben. A bizonyítás triviális: ha $a,b\in {\mathrm{Ann}}_R(S)$, akkor minden $s\in S$-re $(a+b)s=as+bs=0+0=0$ és minden $r\in R$-re $(ra)s=r(as)=r\cdot 0=0$. (A jobbmodulusokra és jobbideálra vonatkozó analóg állítás is igaz.) Ha $S\le M$ részmodulus, akkor ${\mathrm{Ann}}_R(S)$ kétoldali ideál lesz, ugyanis minden $t\in R$-re $(at)s=a(ts)=0$, mert $ts\in S$. Ha $\mathrm{\varnothing }\ne S\subseteq M$ és $N=⟨S⟩\le M$ az $S$ által generált részmodulus, akkor ${\mathrm{Ann}}_R(N)\subseteq {\mathrm{Ann}}_R(S)$, és a tartalmazás lehet szigorú. Ha $R$ kommutatív, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy tartalmazás helyett egyenlőség áll. $M$ tekinthető $R/{\mathrm{Ann}}_R(M)$-modulusnak is a $\bar{r}m:=rm$ szorzással (ahol $\bar{r}$ jelöli $r$ képét a faktorgyűrűben). Általánosságban ez nem minden $I\subseteq R$ ideál esetében ad jóldefiniált modulusstruktúrát $M$-en, de ha $I\subseteq {\mathrm{Ann}}_R(M)$, akkor a szorzás jóldefiniált lesz. Ha $R/{\mathrm{Ann}}_R(M)$-modulusként tekintjük, akkor $M$ automatikusan hűséges modulus.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Annihilator (ring theory) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.