Gauss–Osztrohradszkij-tétel

Vektormező gömbfelületen

A Gauss–Osztrohradszkij-tétel (divergenciatétel) segítségével az integrálegyenleteket differenciális alakra hozhatjuk. Maga a tétel egy vektor zárt felületre vett integrálja és ugyanezen vektor divergenciájának térfogati integrálja között teremt kapcsolatot. A tétel szerint tetszőleges F zárt felület által határolt V térfogatban definiált nem szinguláris V(x) vektormezőre fennáll, hogy V divergenciájának térfogati integrálja megegyezik a (normális) F felületelem és V skaláris szorzatának integráljával:

$$\begin{gathered} {\oint }_F\mathbf{V}d\mathbf{F}=\underset{V}{\int }div\mathbf{V} \\ dV \end{gathered}$$,

vagy (a merőleges komponens felírásval)

$$\begin{gathered} {\oint }_F\mathbf{V}\cdot \mathbf{n} \\ dF=\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{V}{d}^{3}x \end{gathered}$$.

Más szavakkal a V vektortérnek a zárt F felületen átmenő skaláris fluxusa egyenlő V divergenciájának az F által bezárt V térfogatra kiterjedő integráljával. Ugyanez komponensenként kiírva derékszögű koordinátákkal:

$\int \int (V_{x}dydz+V_{y}dxdz+V_{z}dxdy)=\int \int \int (\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z})dxdydz.$

Ez a fizikai Gauss-törvényben a következőképpen jelenik meg. Vegyük a Gauss-törvény integrális összefüggését:

${\oint }_F\mathbf{E}\cdot \mathbf{n}dF=\frac{1}{{\epsilon }_0}\underset{V}{\int }\rho (\mathbf{x})d^{3}x.$

Alkalmazva a divergenciatételt, majd az egyenletet átrendezve az

$\underset{V}{\int }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}-\frac{\rho }{{\epsilon }_0})d^{3}x=0$

egyenletet kapjuk. Mivel a V térfogat tetszőleges, ezért az integrál csak akkor lesz zérus, ha az integrandus is zérussal egyenlő, azaz:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$

Ezzel tehát valóban megkaptuk az elektrosztatika Gauss-törvényének differenciális alakját.

Általánosítás

A divergenciatétel általánosítható Riemann-sokaságokra, tehát olyan sima sokaságokra, melyek fel vannak ruházva egy Riemann-metrikával. Ennek bizonyításához elengedhetetlen a következő tétel: Legyen $M$ egy $n$-dimenziós irányítható peremes sima sokaság, továbbá legyen $\omega$ egy kompakt tartójú $(n-1)$-forma $M$-en. Ekkor fennáll az alábbi összefüggés:

$\underset{\partial M}{\int }\omega =\underset{M}{\int }d\omega$,

ahol $d$ a külső deriváltat jelöli, továbbá egy topologikus térből vektor térbe érkező függvényt akkor mondunk kompakt tartójúnak, ha a zérushelyeinek halmaza relatív kompakt (a lezártja kompakt). Ha a sokaság Riemann, akkor az 1-formák tere azonosítható a vektormezők terével, valamint, ha a sokaság 3 dimenziós, akkor a Riemann-struktúra segítségével a rotáció definiálható. Ekkor a fenti tétel a Stokes-tétel általánosításaként fogható fel, továbbá megadja más ismert integráltételek bizonyításának alapvető összefüggését. A Riemann-sokaságokon értelmezett divergenciatétel precíz megfogalmazása a következő: legyen $(M,g)$ egy irányítható peremes Riemann-sokaság, és legyen $V$ egy sima kompakt tartójú vektormező $M$-en. Ekkor a következő teljesül:

$$\begin{gathered} \underset{M}{\int }\mathrm{div}X \\ d{V}_g=\underset{\partial M}{\int }⟨X,N{⟩}_{g}d{V}_{\overline{g}} \end{gathered}$$,

ahol $N$ egy $\partial M$-menti merőleges kifele mutató egységhosszúságú vektormező, $\overline{g}$ pedig az indukált Riemann-metrika $\partial M$-en.

Források

• Divergenciatétel
• Példák a tételre
• Divergencia
• John David Jackson: Klasszikus elektrodinamika (Typotex, Budapest, 2004) (Információ a kiadványról: 1. és 2.)
• Matematikai zsebkönyv (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974)
• Fekete Zoltán-Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise (A könyv adatlapja a Molyon)
• Lee, John M. (2003), Introduction to Smooth Manifolds (2. ed.), New York: Springer, ISBN 0-387-95448-1