Fourier-sor

Legyen $f(x)\in R_{[2\pi ]}$ az $\mathbb{ℝ}$ értelmezett, $2\pi$ szerint periodikus és a $[0,2\pi ]$ intervallumon Riemann-integrálható függvény. Ekkor az $f(x)$ függvény Fourier-során a következő függvénysort értjük:

$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$,

ahol a ~ a következőképp olvasandó: "az f(x) függvény Fourier-sora …", továbbá érvényes:

$a_k=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\cos kxdx$ $(k=0,1,2\dots )$

és

$b_k=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\sin kxdx$ $(k=1,2,\dots )$.

Az $\left\{a_k\right\},\left\{b_k\right\}$ számokat a függvény Fourier-együtthatóinak nevezzük. Ha előáll ilyen alakban a függvény (azaz egyenlőség áll fent), akkor ez az egyetlen együttható-sorozat, amire ez igaz. Ha $f(x)$ páros függvény, akkor $b_k=0$, és

$a_k=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos kxdx$.

Ha $f(x)$ páratlan függvény, akkor $a_k=0$, és

$b_k=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin kxdx$.

Kapcsolódó szócikkek

• Fourier-analízis
• Fejér-tétel

További információk

• Letölthető interaktív Java szimuláció a Fourier-analízisről a PhET-től, magyarul.

Források

• Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. ISBN 963-9548-21-9, ISBN 963-9548-22-7