Kényszermozgás (fizika)

A kényszermozgás kényszerfeltétel(ek)nek alávetett tömegpont vagy más fizikai rendszer mozgása.

Kényszererő

Ha a kényszer egy megadott felületen való mozgást jelent, ez egy kényszererővel vehető figyelembe. A felület egy $f(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t)=0$ egyenlettel adható meg. Ha nincs súrlódás, akkor a felület támasztókényszerként működik, a mozgás minden pillanatában, tehát a kényszererő iránya mindig merőleges a felületre.
Mivel egy felület gradiense is egy merőleges vektor a mondott felületre, a kényszererőt általános alakban

${\mathbf{F}}^{\prime }=\lambda \mathrm{grad}f=\lambda \frac{df}{d\mathbf{r}}$

kifejezéssel adhatjuk meg. Ha a súrlódás nem hanyagolható el, akkor a kényszererőnek lesz egy a felület érintő irányába eső komponense is. A Coulomb-súrlódás törvénye szerint a súrlódási erő nagysága arányos a felületre merőlegesen ható nyomóerővel, iránya pedig ellentétes a mozgás sebességvektoráéval, vagyis:

${\mathbf{F}}^{″}=-\mu |\mathbf{N}|\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}=-\mu |\lambda \mathrm{grad}f|\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}=-\mu \lambda \left|\frac{df}{d\mathbf{r}}\right|\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$.

Ezeket figyelembe véve a kényszerfelületen mozgó anyagi pont mozgástörvénye:

$m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}+{\mathbf{F}}^{\prime }+{\mathbf{F}}^{″}$,

vagyis így a tömegpont már szabad mozgásúnak tekinthető. A kényszermozgások általában a Lagrange-féle mozgásegyenletek segítségével tárgyalhatók.

Lagrange-féle mozgásegyenletek

<Joseph Louis Lagrange nevéről> A Lagrange-féle mozgásegyenletek az anyagi rendszerek mozgását előnyös matematikai megfogalmazásban leíró egyenletek.

Elsőfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek

Az elsőfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek a kényszerfeltételeknek alávetett mechanikai rendszerek mozgásegyenletei. Az általában geometriai eredetű (azaz adott felületen vagy görbén való mozgást előíró) kényszer legtöbbször egy kényszererő formájában vehető figyelembe, az eredeti Newton-féle mozgásegyenleteknél a külső és belső szabad erők (F) mellett a kényszererőt (F′) is figyelembe kell venni:

$m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}+{\mathbf{F}}^{\prime }$,

ahol m a tömeg, $\mathbf{r}$ a helyvektor, $\ddot{\mathbf{r}}$ a gyorsulás. Azaz a kényszererők és szabaderők együttes hatására az anyagi pont úgy mozog, mintha szabad mozgást végezne. Konkrét számításokhoz azonban nem használható, hiszen nemcsak a gyorsuláskomponenseket, de a kényszererő komponenseit sem ismerjük. Az ${\mathbf{F}}^{\prime }$-ről feltehetjük, hogy mindig merőleges a mozgást tartalmazó felületre, ezért (mivel az f felületre a grad f gradiensvektor is merőleges) írhatjuk: ${\mathbf{F}}^{\prime }=\lambda \mathrm{grad}f$. (Az – egyelőre – meghatározatlan $\lambda$ tényező neve: Lagrange-féle multiplikátor.) Az így kapott

$m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}+\lambda \mathrm{grad}f$

$f(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t)=0$

egyenletrendszerből az ismeretlen r = r(t) és $\lambda$ kiszámítható. Ha pl. a kényszerfeltétel előírása szerint az anyagi pontnak egy görbén kell mozognia, akkor a görbe az $f_1(\mathbf{r},t)=0$ és $f_2(\mathbf{r},t)=0$ egyenletek által megadott felületek metszésvonalának tekinthető, s a kényszererő ${\mathbf{F}}^{\prime }={\lambda }_1\mathrm{grad}{f}_1+{\lambda }_2\mathrm{grad}{f}_2$ alakban írható, mivel a kényszererő a két előírt felületre merőleges. Így az előírt görbén mozgó anyagi pont mozgásegyenlete így alakul:

$m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}+{\lambda }_1\mathrm{grad}{f}_1+{\lambda }_2\mathrm{grad}{f}_2$,

amihez csatolni kell a két felület :$f_1(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t)=0$ és $f_2(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t)=0$ egyenleteit.

Másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek

Számtalan mechanikai probléma megoldása lényegesen egyszerűsödik, ha derékszögű koordináta-rendszer helyett más koordinátákat választunk. Ha az n számú anyagi pontból álló mechanikai rendszer r számú kényszerfeltétele holonom, vagyis $f_k(x_1,...,x_{3n},t)=0$ (ahol k = 1,2,...,r) alakban adható meg, a 3n derékszögű koordináta közül csupán 3n–r független, azaz a rendszer szabadsági foka: f = 3n–r . Az ilyen rendszer helyzetét f számú, egymástól független $q_1,q_2,....,q_f$ adat egyértelműen meghatározza. A másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletekben a derékszögű koordináták helyett olyan, a rendszer f szabadsági fokával megegyező számú ún. általános koordinátát ($q_1$, …, $q_f$) vezetnek be, amelyek használatakor a kényszerfeltételek már eleve teljesülnek (pl. az egységnyi sugarú gömbfelületen mozgó pont esetében választható általános koordináták a ϕ és ϑ polárkoordináták). A rendszer

$L=L(q_1$,…,$q_f$,$\dot{q_1}$,…,${\dot{q}}_f,t)$

Lagrange-függvényét felírva $\dot{q_1}$,…,${\dot{q}}_f$ az ún. általános sebességek (az általános koordinátáknak a t idő szerinti differenciálhányadosai), a Hamilton-elvből levezethető

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$

másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletekből meghatározható $q_i=q_i(t)$ (ahol i = 1, …,f) függvények lesznek a mozgásprobléma megoldásai. A másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek a mechanika számára az alkalmazások szempontjából az egyik legjobban használható módszert adják, elsősorban akkor, ha a kényszerfeltételek igen összetettek (bár csak véges szabadságfokú mechanikai rendszerek esetén érvényesek). A másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenletek a mechanikán kívül a fizika más fejezeteiben (elektrodinamika, kvantummechanika, térelméletek) is alkalmasak az alapegyenletek megfogalmazására, amennyiben az ott jellemző Lagrange-függvény alakja megadható.

Jegyzetek

• Természettudományi lexikon III. (Gy–K). Főszerk. Erdey-Grúz Tibor. Budapest: Akadémiai. 1966. 645–646. o.
• Természettudományi lexikon IV. (L–N). Főszerk. Erdey-Grúz Tibor. Budapest: Akadémiai. 1967. 9–10. o.
• Nyugat-magyarországi Egyetem Kinetika (jegyzet)