Különbség (halmazelmélet)

A sötétlila terület az A mínusz B

A különbség a halmazelmélet egy kétváltozós művelete, ami két halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az első halmaz elemei közül pontosan azokat tartalmazza, melyeket a második nem.

Definíció és jelölés

Ha $A$ és $B$ halmazok, akkor az $A$ és $B$ különbségének nevezzük és $A\setminus B$ (szóban: „á különbség bé”, vagy „á mínusz bé”) módon jelöljük az $A$ halmaz azon elemeinek összességét, melyek nem elemei $B$-nek. Ezt szimbolikusan így írjuk: $A\setminus B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}.$

Példák

• {1,2,3} \ {2,3,4} = {1}
• {2,3,4} \ {1,2,3} = {4}
• Ha a valós számok $\mathbb{ℝ}$ halmazából kivonjuk a racionális számok $\mathbb{\mathbb{Q}}$ halmazát, akkor eredményül megkapjuk az irracionális számok ${\mathbb{\mathbb{Q}}}^{*}$ halmazát, vagyis $\mathbb{ℝ}\setminus \mathbb{\mathbb{Q}}={\mathbb{\mathbb{Q}}}^{*}$.

Tulajdonságok

Ha az $U$ univerzumban (másként az alaphalmazban) $A$, $B$ és $C$ halmazok, akkor igazak a következők:

• Ha az $A\ne B$, akkor a különbségképzés nem kommutatív: $A\setminus B\ne B\setminus A$.
• Ha   $A\subseteq B$ , akkor   $A\setminus B=\mathrm{\varnothing }$.
• $A\setminus A=\mathrm{\varnothing }$
• $\mathrm{\varnothing }\setminus A=\mathrm{\varnothing }$
• $A\setminus U=\mathrm{\varnothing }$
• $A\setminus \mathrm{\varnothing }=A$
• $U\setminus A=A^c$
• $A\setminus B=A\cap B^c=(A^c\cup B{)}^c$    és    $(A\setminus B{)}^c=A^c\cup B$

Továbbá

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$
• $C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)$
• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$

Kapcsolódó szócikkek

• Komplementerképzés

További információk

• Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai