Komplex analízis

A komplex analízis vagy komplexfüggvény-tan a matematika azon ága, amely a komplex változós komplex értékű függvényekkel foglalkozik. Alkalmazzák kétdimenziós fizikai problémák modellezésében és a számelméletben is. A komplex analízisben központi szerep jut a függvények differenciálhatóságának, s konkrétan a holomorf illetve a meromorf függvények vizsgálatának.

Komplex függvény

Komplex függvény alatt olyan függvényeket értünk, melyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a komplex sík részhalmaza.

Differenciálhatóság

A derivált

Valamely $f:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}$ függvény deriváltja a $z$ helyen a valós esethez hasonlóan értelmezhető. Ha az alábbi határérték létezik, akkor $f$ a $z$ helyen differenciálható, s a határértéket az $f$ függvény $z$ pontban vett deriváltjának nevezzük:

$f^{\prime }(z)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$

Ha egy $f$ függvény valamely $\mathrm{\Omega }$ halmaz minden pontján differenciálható, akkor definiálható a derivált függvény is:

$f^{\prime }:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{ℂ}$

A Cauchy–Riemann egyenletek

A komplex függvények differenciálhatóságra adnak ekvivalens feltételt a Cauchy–Riemann-egyenletek. Ezek mögött az van, hogy a határértéknek az adott pontban a komplex sík minden irányából közelítve azonosnak kell lennie. Mivel a komplex sík izomorf a kétdimenziós valós vektortérrel, $f$ komplex változós függvény felírható ekvivalens módon $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$ alakban a következőképpen:

$f(x,y)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x,y)\\ f_2(x,y)\end{array}\right]$

Pontosan akkor differenciálható $f$ valamely $z=x+yi$ pontban, ha teljesülnek az úgynevezett Cauchy–Riemann egyenletek:

${\partial }_1{f}_1(x,y)={\partial }_2{f}_2(x,y){\partial }_1{f}_2(x,y)=-{\partial }_2{f}_1(x,y)$

Ekkor a derivált értéke a következő:

$f^{\prime }(z)={\partial }_1{f}_1(x,y)+{\partial }_1{f}_2(x,y)i$

Minden differenciálható komplex függvény analitikus

Megmutatható, hogy minden differenciálható komplex függvény analitikus, azaz az adott pont egy környezetében a függvény Taylor-sora létezik és előállítja a függvényt.

Integrálás

Mivel mind a változónak, mind a függvény értékének lehet valós és képzetes része is, az integrálás a vektorfüggvényekéhez hasonló. Legelterjedtebb a komplex síkon végigfutó görbe menti vonalintegrál. Cauchy tétele kimondja, hogy bármely analitikus függvényt egy zárt görbén integrálva az eredmény nulla lesz, tehát

$\oint f(z)dz=0.$

A vonalintegrált sokszor akkor is tudjuk értelmezni, ha a függvény nem analitikus, azaz a a görbén belül szakadása, pólusa van. Példaként az $f(z)=1/z$ függvényt az origó körüli körön integrálva (kihasználva, hogy $z=|z|e^{i\varphi }$)

$\oint \frac{1}{z}dz=i\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi =2\pi i.$

Ebből megkapható, hogy egy $\frac{f(z)}{z-z_{\circ }}$ alakú függvény, ahol $f(z)$ tetszőleges, analitkus függvény, $z_{\circ }$ pólust tartalmazó zárt görbére vett integrálja az analitikus függvény $z_{\circ }$ pontbeli értékét adja:

$\oint \frac{f(z)}{z-z_{\circ }}dz=f(z_{\circ })2\pi i.$

Holomorf függvények

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt holomorfnak nevezzük, ha differenciálható. A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Meromorf függvények

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt meromorfnak nevezzük, ha legfeljebb izolált pontokban nem differenciálható. A szó az ógörög meros (μέρος) szóból ered, mely azt jelenti rész, utalva arra, hogy a függvény csak az értelmezési tartományának egy részén differenciálható.

További információk

• Komplex analízis, 1-2.; Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2004–2007
  • Teodor Bulboacă–Németh Sándor; 1.; 2004
  • Teodor Bulboacă–Salamon Júlia: 2. Feladatok és megoldások; 2007