Háromszög magassága

A háromszög magasságpontja

A háromszög magasságvonalán a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest értjük.

Magasságpont

A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a magasságpont. Bizonyítás: Az $ABC$ háromszögben az $A$ csúcshoz tartozó magasság $m_a$, $B$-hez tartozó pedig $m_b$. Húzzunk a háromszög csúcsain keresztül párhuzamosakat a szemközti oldallal, így egy új $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ háromszöget kapunk, amiben $ABC{B}^{\prime }$, $A{C}^{\prime }BC$, $AB{A}^{\prime }C$ négyszögek paralelogrammák. Az eredeti $ABC$ háromszög oldalai az $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ háromszög középvonalai, mivel $B^{\prime }{C}^{\prime }$ felezőpontja $A$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ felezőpontja $B$, $A^{\prime }{B}^{\prime }$ felezőpontja pedig $C$. $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ háromszög származtatása miatt $m_c$ az $A^{\prime }{B}^{\prime }$ oldalfelező merőlegese, $m_b$ az $A^{\prime }{C}^{\prime }$ felezőmerőlegese, $m_a$ pedig $B^{\prime }{C}^{\prime }$-nek. Mivel ezek egy pontban metszik egymást, így a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást.

A magasságpont tulajdonságai

• A magasságpont rajta van az Euler-egyenesen
• A magasságpontot a háromszög oldalainak felezőpontjára tükrözve a képpontok a háromszög köré írt körre illeszkednek
• Baricentrikus koordinátái: $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha :\mathrm{t}\mathrm{g}\beta :\mathrm{t}\mathrm{g}\gamma$
• Trilineáris koordinátái: $\sec \alpha :\sec \beta :\sec \gamma$
• A háromszög magasságainak szeleteinek szorzatára:

AM·MT_a=BM·MT_b=CM·MT_c

Magasság talppontja és talpponti háromszög

Talpponti háromszög

A magasság talppontja a magasságvonal és az arra vonatkozó oldal metszéspontja. A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszögének hozzáírt körének a középpontja (a háromszög leghosszabb oldalából származó oldalhoz írva), ugyanis a magasságvonalak felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit. A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén.

Magasságtétel

A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre bontja (p és q), és az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe, vagyis $$\begin{gathered} m=\sqrt{p \\ q} \end{gathered}$$. Bizonyítás: Legyen az $ABC$ derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az $ATC△\sim CTB△$ ($\alpha$ szög megegyezik, derékszögek, merőleges szárú szögek). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis $\frac{q}{m}=\frac{m}{p}$, ami ekvivalens az állítással.

Befogótétel

Egy derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe, azaz $$\begin{gathered} b=\sqrt{q \\ c} \end{gathered}$$. Bizonyítás: Legyen az $ABC$ derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának talppontja T. Az $ABC△\sim ACT△$ ($\alpha$ szög közös, derékszögek, az egyik oldal megegyezik). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik: $\frac{b}{q}=\frac{c}{b}$, ami éppen a tételben szereplő azonosság.

Lásd még

• Általános magasságtétel

Források

• Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal
• Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 184-185. és 198-199. oldal.
• Reiman István: Geometria és határterületei
• H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.50