Modulus (matematika)

A modulus az algebrai struktúrák egy fajtája, a vektortér fogalmának általánosítása, lazítása, gyengítése, amely bizonyos vektortéraxiómák elhagyásával keletkezik. Egy gyűrű feletti modulus viszonya a gyűrűhöz ahhoz hasonlít, mint egy test feletti vektortér viszonya a testhez. Az algebrában a modulusoknak számos alkalmazása van többek közt a csoportelméletben, a gyűrűelméletben és az algebrai geometriában. A modulust egy olyan vektortérként foghatjuk fel, ahol a skalárok nem testet, hanem csak gyűrűt alkotnak.

Definíció

Legyen adva egy $R$ gyűrű, és legyen $(M,+)$ Abel-csoport. Tegyük fel, hogy létezik egy $*:R\times M\mapsto M$ „szorzás” művelet (ez fogja a vektorok skalárral való szorzásának szerepét kapni, egymás mellé írással jelöljük). Az $M$-et bal oldali $R$-modulusnak nevezzük, ha az előbbi műveletek teljesítik a következő kritériumokat: Legyenek $r,s\in R$ és $n,m\in M$. Ekkor:

• $r(n+m)=rn+rm$,
• $(r+s)n=rn+sn$,
• $r(sn)=(rs)n$.

Ha $R$ egységelemes gyűrű, akkor $M$-et unitér modulusnak nevezzük, ha

• $1n=n$

Hasonlóan értelmezzük a jobb oldali modulust, ekkor a szorzás a másik oldalról történik. Vannak kétoldali modulusok, ezek egyszerre bal és jobb oldali modulusok, tehát a jobb oldali szorzás ugyanaz, mint a bal oldali szorzás (szokás ezt bimodulusnak is nevezni).

Példák

• Legyen $A$ egy Abel-csoport. Ez modulussá tehető $\mathbb{\mathbb{Z}}$ egész számok halmaza felett a következő szorzásművelettel. Legyen $a\in A,n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ és ekkor $n*a=a*n=a+\dots +a$ $n$-szer. Ha $n$ negatív, akkor értelem szerint $a^{-1}$-nek kell az $n$-szeres összegét venni, ha pedig $n=0$, akkor $0*a=1_A$. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban modulus.
• Legyen $R={\mathbb{ℝ}}^{n\times n}$, tehát az $n\times n$-es valós mátrixok (az összeadással és a mátrixszorzással mint két művelettel), és legyen $M={\mathbb{ℝ}}^n$, és értelmezzük a szorzást így: minden $X\in R,v\in M$ esetén $X*v=Xv$, tehát a közönséges mátrix-vektor szorzás. Ez egy bal oldali modulus, de nem kétoldali, ugyanis általában $Xv=vX$.

Irodalom

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába (Typotex Kiadó, 2007) Modulusok fejezet. (A Google Könyvekben is elérhető.) ISBN 978 963 9664 48 7
• Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába [1] PDF