Négyzetes piramisszámok

A negyedik piramisszám a 30, mert 1+4+9+16=30

Piramisszámnak vagy négyzetes piramisszámnak (vagy n-edik piramisszámnak) nevezzük az első n darab pozitív egész szám négyzetösszegét, más szóval az első n négyzetszám összegét. Az elnevezést a fogalom geometriai jelentése motiválja, mert pontosan piramisszám számosságú gömbből lehet olyan piramist építeni, melynek alapja $n\times n$ méretű négyzet.

Képletek

Az n-edik piramisszám formális definíciója a következő:

$P_n=1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots +n^2$

amely a tömörebben is kifejezhető a Σ szimbólummal:

$P_n=\sum _{i=1}^n{i}^2$

Nem csak összegként, hanem zárt alakban is kifejezhető:

$P_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Tulajdonságok

A piramisszámok kapcsolatban állnak a binomiális együtthatókkal is a következőképpen:

$P_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{3})$

Az 1-en kívül csak egy olyan szám van, amely egyben piramisszám és négyzetszám is, és ez a szám a 4900, amely a 70. négyzetszám és a 24. piramisszám. Ezt a tényt G. N. Watsonnak sikerült belátnia 1918-ban. A négyzetes piramisszámok generátorfüggvénye:

$\frac{1+z}{(1-z{)}^4}.$

Az első néhány

Az első néhány piramisszám a következő: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, … (A000330 sorozat az OEIS-ben)