Zérusosztó

Az absztrakt algebrában egy zéruselemes grupoid valamely nemnulla $a$ elemét bal oldali zérusosztónak nevezzük, ha van az adott struktúrának olyan nemnulla $b$ eleme, hogy $ab=0$ teljesül. Hasonlóan, egy zéruselemes grupoid valamely nemnulla $b$ elemét jobb oldali zérusosztónak nevezzük, ha van az adott struktúrának olyan nemnulla $a$ eleme, hogy $ab=0$ teljesül. Azt mondjuk, hogy az $(A,\cdot )$ grupoid nemnulla $a\in A$ eleme zérusosztó (vagy más néven nullosztó), ha egyidejűleg bal oldali zérusosztó és jobb oldali zérusosztó, azaz valamely nemnulla $b,c\in A$ elemekre $b\cdot a=0$ és $a\cdot c=0$ teljesül. Kommutatív struktúrákban a bal oldali zérusosztók és a jobb oldali zérusosztók megegyeznek, azaz minden bal oldali zérusosztó zérusosztó. Az $(A,\cdot )$ grupoid zérusosztómentes (nullosztómentes), ha nincs zérusosztója, azaz ha $a,b\ne 0$, akkor $ab\ne 0$.

Példák

• Az egész számok $\mathbb{\mathbb{Z}}$ gyűrűjében nincsenek zérusosztók, azaz zérusosztómentes, de a ${\mathbb{\mathbb{Z}}}^2$ gyűrűben (ahol az összeadást és a szorzást komponensenként végrehajtott összeadásként, illetve szorzásként definiáljuk) a (0,1) × (1,0) = (0,0), tehát (0,1) és (1,0) zérusosztók.
• A 2x2-es mátrixok gyűrűjében az

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$

elem zérusosztó, mert

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

illetve $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ A ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_6$ gyűrűben 2·3 = 0.

• Viszont általában minden ferdetest mentes a zérusosztóktól.

Tulajdonságok

A bal oldali zérusosztóknak és a jobb oldali zérusosztóknak sohasem létezik az inverze, mert ha a elem inverze létezik és ab = 0, akkor 0 = a^‒10 = a^‒1ab = b. Gyűrűkben minden az egységelemtől különböző nemnulla idempotens elem zérusosztó, mivel a² = a következménye, hogy a(a ‒ 1) = (a ‒ 1)a = 0 is teljesül. A gyűrűk nemzérus nilpotens elemei szintén zérusosztók. A zérusosztóknak fontos szerepe van az egyenletek megoldhatóságában: ab=ac-ból akkor következik b=c, ha a nem (bal oldali) nullosztó. A zérusosztómentes gyűrűkben minden elem additív rendje megegyezik, ezt a közös rendet a gyűrű karakterisztikájának hívjuk. Az egységelemes, kommutatív, zérusosztómentes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.

Kapcsolódó szócikkek

• Integritástartomány

Hivatkozások

• Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)

További információk

• Alice és Bob - 15. rész: Alice és Bob az absztrakció útján