Skalártér

A P(x, y) ↦ x²+y² függvénnyel megadott skalármező ábrázolása

A fizikában a skalártér, más néven skalármező egy-egy skalármennyiséget rendel a tér minden pontjához (ld. függvény). Ha a skalármennyiség nem valódi skalár, hanem pszeudoskalár, akkor a teret pszeudoskalártérnek nevezzük. A tér lehet a szokásos euklideszi tér (másképpen hármastér), de Minkowski-tér (a fizikában másképpen ez a négyestér) is. Például minden ponthoz hozzárendelik az ottani hőmérséklet értékét. A skalármezők a vektoranalízisben is fontosak.

Definíció

Ha a φ(P) függvény a tér vagy egy térrész minden pontjához egy számot (skalárt) rendel, akkor φ(P) skalármező. Matematikai szempontból a skalármező értelmezési tartománya vektortér, vagy annak egy része, de a fizikai alkalmazásokban nem foglalkoznak ezzel.

$P\in {\mathbb{ℝ}}^n$

$$\begin{gathered} \phi : \\ {\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ} \end{gathered}$$

$P\mapsto \phi (P)$

Speciálisan n = 2-re:

$P=(x,y)$

$$\begin{gathered} \phi : \\ {\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ} \end{gathered}$$

$P\mapsto \phi (P)=\phi (x,y)$

Speciálisan n = 3-ra:

$P=(x,y,z)$

$$\begin{gathered} \phi : \\ {\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ} \end{gathered}$$

$P\mapsto \phi (P)=\phi (x,y,z)$

Fizikai példák skalártérre

• A klasszikus fizikában a potenciálmezők (például gravitációs potenciál), kivéve az időtől is függő potenciálokat.
• További klasszikus fizikai példák a légnyomás, a hőmérséklet, vagy a sűrűség.
• A kvantumtérelmélet a nulla spinű részecskékhez skalárteret rendel.
  • A standard modell Higgs-bozonját skalártér írja le.

Szintfelületek

A P(x, y) ↦ x²+y² függvénnyel megadott skalármező szintvonalai koncentrikus körök

A szintfelületek (nívóhalmazok) azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a skalármező értéke állandó. Síkon (${\mathbb{ℝ}}^2$) értelmezett skalármező esetén inkább szintvonalakról (nívóvonalakról) beszélnek. A skalármező értelmezési tartományának minden pontján áthalad egy, és csak egy szintfelület. A szintfelületek merőlegesen metszenek minden rajtuk áthaladó felületi görbét. Példák:

• A meteorológiában az izoterma az azonos hőmérsékletű, az izobár az azonos légnyomású pontokat összekötő görbe.
• A mikroökonómiában egy U hasznossági függvény esetén az azonos hasznosságú jószágkosarakat leíró pontokat összekötő görbét közömbösségi görbéknek hívjuk.
• A térképészetben az azonos tengerszint feletti magasságú pontokat összekötő görbék a szintvonalak.

Operátorok

A skalártérre a következő differenciáloperátorok alkalmazhatók:

• Irány menti derivált
• Gradiens

Integrál

A skalármezőnek felületi integrálja van. Ez az integrál így számítható:

$\underset{S}{\int }\varphi dS=\int \underset{T}{\int }\varphi (r(u,v))|r_u\times r_v|dudv$

ahol φ a skalármező és S a felület.

Green-formula

A skalármezők a Green-formulában is megjelennek. S egyszerű zárt felület, kifelé irányított normálvektorral. Jelölje V az S által körülzárt térrészt, és legyenek a φ, ψ vektormezők kétszer folytonosan differenciálhatók! Ekkor

$\int \underset{S}{\int }(\varphi \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\psi -\psi \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi )dS=\underset{V}{\int }(\varphi \mathrm{△}\psi -\psi \mathrm{△}\varphi )dV$

ahol $\mathrm{△}$ a Laplace-operátor.

Más típusú terek

• vektormező (és axiálvektor-mező)
• tenzormező (és pszeudotenzor-mező)

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Skalártér témájú médiaállományokat.

• BME
• PPKE