Nyom (lineáris algebra)

Egy négyzetes mátrix nyoma (angolul trace, németül Spur) a főátlójában lévő elemek összege, azaz $A=(a_{i,j}{)}_{n\times n}$ nyoma

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$.

A mátrix nyoma egyenlő a (komplex) sajátértékeinek összegével.

Példa

Az $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 6& -3& 1\\ -2& 7& 8\end{array}\right)$ mátrix nyoma $\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=2+(-3)+8=7$.

Tulajdonságok

A nyom lineáris leképezés, azaz azonos méretű $A,B$ négyzetes mátrixok és $c$ skalár esetén

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)+\mathrm{t}\mathrm{r}(B),$

$\mathrm{t}\mathrm{r}(cA)=c\mathrm{t}\mathrm{r}(A).$

Négyzetes mátrix nyoma megegyezik transzponáltjának nyomával, azaz

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A^T)=\mathrm{t}\mathrm{r}(A).$

Ha $A,B$ azonos méretű négyzetes mátrixok, akkor a kétféle sorrendben vett szorzatuk nyoma egyenlő, azaz

$\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA),$

azonban ez többtényezős szorzatok esetén a tényezők nem minden permutációja esetén, csak ciklikus permutációjukra teljesül. (Ez az azonosság egyébként nem csak akkor igaz, ha a tényezők négyzetes mátrixok, hanem akkor is, ha $A$ $m\times n$-es, $B$ $n\times m$-es mátrix, tehát $A,B$ mindkét sorrendben összeszorozhatók.) Idempotens mátrix nyoma egyenlő a rangjával, nilpotens mátrix nyoma 0.

Források

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK