Walrasi egyenletek

Léon Walras az 1874-ben megjelent Élements d'économie politique pure; ou théorie de la richesse sociale (A tiszta politikai gazdaságtan elemei, avagy a társadalmi gazdagság elmélete) című művében egy – négy csoportba sorolt – egyenletekből álló egyenletrendszert vázolt fel, amiket walrasi egyenleteknek hívunk. Az egyenletekkel, amelyek a gazdaságban jelen lévő javak árát és mennyiségét határozzák meg „a tökéletesen szabad verseny hipotetikus feltételei között”, Walras megteremtette az általános egyensúlyelmélet alapjait.

A fogyasztásicikk-keresleti és a tényezőkínálati egyenletek

Walras modelljében a háztartásoknak kettős gazdasági szerepük van: egyrészt a fogyasztási cikkek potenciális vevőiként, másrészt a termelési tényezők (munkaerő, tőke stb.) eladóiként jelennek meg a piacon. Walras elsőként egyetlen háztartást vizsgált. Feltételezte, hogy a rendelkezésre álló (eladható) tényezőmennyiségek rögzítettek, ezeket jelölje q_t, q_p, q_k, és így tovább. A vásárolt fogyasztási javak mennyiségei legyenek d_a, d_b, d_c stb., az eladott tényezőmennyiségek pedig o_t, o_p, o_k, és így tovább. Legyen az a jószág az ármérce (numéraire), vagyis mérjük a többi jószág árát a egységében. Ekkor értelemszerűen $p_a=1$. (Ezzel Walras kiiktatta a pénzt az egyenletekből.) Minden jószágnak létezik hasznossága (mai szóval határhaszna, amit Walras $\mathrm{\Phi }$-vel jelöl), ami a háztartás számára végül rendelkezésre álló mennyiség monoton csökkenő függvénye (más javak fogyasztásától azonban nem függ). Ha a háztartás optimálisan osztja meg a jövedelmét a különböző javak között, teljesülnek a következő egyenletek:

$\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }(d_a)=p_a\cdot \mathrm{\Phi }(d_a)\\ \mathrm{\Phi }(d_b)=p_b\cdot \mathrm{\Phi }(d_a)\\ \mathrm{\Phi }(d_c)=p_c\cdot \mathrm{\Phi }(d_a)\\ ...\end{array}$

Az első egyenlet $p_a=1$ miatt valójában azonosság, elhagyható. Ha a fogyasztási cikkek száma m, akkor m ‒ 1 egyenletünk van. De hasonlóak a termelési tényezőkre is felírhatók:

$\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }(q_t-o_t)=p_t\cdot \mathrm{\Phi }(d_a)\\ \mathrm{\Phi }(q_p-o_p)=p_p\cdot \mathrm{\Phi }(d_a)\\ \mathrm{\Phi }(q_k-o_k)=p_k\cdot \mathrm{\Phi }(d_a)\\ ...\end{array}$

Ha a tényezők száma n, akkor ez ugyanennyi egyenletet jelent. A fentebb leírt egyenletekben közös a $\mathrm{\Phi }(d_a)$ tag, ezért akár ilyen alakra is hozhatók:

$\frac{\mathrm{\Phi }(d_b)}{p_b}=\frac{\mathrm{\Phi }(d_c)}{p_c}=...=\frac{\mathrm{\Phi }(q_t-o_t)}{p_t}=\frac{\mathrm{\Phi }(q_p-o_p)}{p_p}=\frac{\mathrm{\Phi }(q_k-o_k)}{p_k}=...=\mathrm{\Phi }(d_a)$,

amivel lényegében Gossen II. törvényét írtuk fel. Még egy egyenlet létezik, ami annak a feltevésnek felel meg, hogy a háztartás összes (tényezőeladásból származó) jövedelmének egyenlőnek kell lennie az összes (fogyasztásicikk-vásárlásra fordított) kiadásával. Eszerint:

$p_t\cdot o_t+p_p\cdot o_p+p_k\cdot o_k+...=d_a+p_b\cdot d_b+p_c\cdot d_c+...$

A tökéletes verseny feltételezéséből az is következik, hogy minden egyes háztartás árelfogadó, vagyis nem képes (vagy úgy véli, hogy nem képes) befolyásolni a piacon kialakult árakat. Ezért az árak most – a kiinduló tényezőmennyiségekhez hasonlóan – paraméterként jelennek meg, csak a keresett, illetve kínált mennyiségek ismeretlenek. m + n darab egyenletünk van, és ugyanennyi ismeretlen. Walras feltételezte, hogy ez elegendő az egyenletrendszer megoldhatóságához és a megoldás egyértelműségéhez, így a háztartás meg tudja határozni az általa vásárolni, illetve eladni kívánt jószágmennyiségeket. Írjuk fel ezeket az árak függvényében:

$\begin{array}{c}{d}_a=f_a(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ d_b=f_b(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ d_c=f_c(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ ...\\ o_t=f_t(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ o_p=f_p(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ o_k=f_k(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ ...\end{array}$

Látható, hogy bármely jószág keresletét, illetve kínálatát minden más jószág ára befolyásolja. Walras ezt követően áttért a háztartások összességének vizsgálatára. Az egyes fogyasztási cikkek kereslete és a tényezők kínálata a háztartások keresleteinek, illetve kínálatainak összege, így maga is az árak függvénye:

$\begin{array}{c}{D}_a=\sum d_a=F_a(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ D_b=\sum d_b=F_b(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ D_c=\sum d_c=F_c(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ ...\\ O_t=\sum o_t=F_t(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ O_p=\sum o_p=F_p(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ O_k=\sum o_k=F_k(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)\\ ...\end{array}$

Mivel minden egyes háztartás kínálatának értéke egyenlő volt a keresletével, ezért az aggregált kínálat is azonos lesz az aggregált kereslettel. Ez az összefüggés Walras törvényeként is ismert.

A tényezőpiaci egyenletek

Az általános egyensúly elengedhetetlen feltétele, hogy minden termelési tényező összpiaci kereslete egyenlő legyen a kínálatával:

$\begin{array}{c}{D}_t=O_t\\ D_p=O_p\\ D_k=O_k\\ ...\end{array}$

A termelési tényezők kereslete ugyanakkor az általuk előállított javak keresletéből származtatható. Az ezt leíró összefüggést Walras lineárisnak feltételezte. A javak keresleteinek együtthatóit technikai koefficienseknek nevezzük. Behelyettesítve a tényezőkeresletek helyére:

$\begin{array}{c}{a}_t\cdot D_a+b_t\cdot D_b+c_t\cdot D_c+...=O_t\\ a_p\cdot D_a+b_p\cdot D_b+c_p\cdot D_c+...=O_p\\ a_k\cdot D_a+b_k\cdot D_b+c_k\cdot D_c+...=O_k\\ ...\end{array}$

Walras kezdetben úgy vélte, hogy a technikai koefficiensek merevek, kizárólag a technológia függvényei. Az Élements harmadik kiadásában felülbírálta álláspontját. Erről részletesebben lásd: A technikai koefficiensek problémája.

Az ár-költség egyenletek

Az egyenletek negyedik csoportja a fogyasztási cikkek árának és átlagos termelési költségeinek azonosságát írja le. A költségek az előállításhoz szükséges tényezők árának az előző pontban megismert technikai koefficiensekkel súlyozott értékei.

$\begin{array}{c}{p}_a=a_t\cdot p_t+a_p\cdot p_p+a_k\cdot p_k+...\\ p_b=b_t\cdot p_t+b_p\cdot p_p+b_k\cdot p_k+...\\ p_c=c_t\cdot p_t+c_p\cdot p_p+c_k\cdot p_k+...\\ ...\end{array}$

Walras ezzel feltételezte, hogy a vállalatok (amelyek a tényezők fogyasztási cikkekké való transzformálását végzik) profitja az egyensúlyban 0.

A technikai koefficiensek problémája

Az Élements harmadik kiadásában Walras elvetette korábbi véleményét, miszerint a technikai koefficiensek csak a technológiától függnének, a vállalat döntésétől egyáltalán nem. Ezáltal Walras elismerte, hogy a tényezők bizonyos keretek között helyettesíthetők egymással akkor is, ha a vállalat ugyanazt a jószágot állítja elő. Ha a technikai koefficiensek paraméterből ismeretlenné válnak, a modellben mn darab új ismeretlen lép fel. Csakhogy ugyanennyi egyenlet is keletkezik azáltal, hogy a vállalatok profitjuk maximalizálása érdekében mind az n tényező határtermék-bevételét egyenlővé teszik ezen tényezők árával; és ugyanezt megismétlik mind az m jószág gyártása folyamán.

Az egyenletek megoldhatósága

Összefoglalva a négy egyenletcsoportot:

Egyenletcsoport	Az egyenletek általános alakja	Az egyenletek száma
Fogyasztásicikk-keresleti egyenletek	$D_i=F_i(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)$	n
Tényezőkínálati egyenletek	$O_j=F_j(p_b,p_c,...,p_t,p_p,p_k,...)$	m
Tényezőpiaci egyenletek	$a_j\cdot D_a+b_j\cdot D_b+c_j\cdot D_c+...=O_j$	m
Ár-költség egyenletek	$p_i=i_t\cdot p_t+i_p\cdot p_p+i_k\cdot p_k+...$	n

Ismeretlen m + n ‒ 1 jószág ára (mivel $p_a=1$ – másképpen fogalmazva, m + n ‒ 1 jószágnak az a-hoz viszonyított árarányát keressük), valamint a javak egyensúlyi mennyiségei (általánosan felírva: D_i és O_j). Az ismeretlenek száma tehát 2m + 2n ‒ 1, ami látszólag eggyel alacsonyabb az egyenletek számánál. Valójában azonban nem, mert a 3. és 4. csoportba tartozó egyenletekből levezethető Walras törvénye, amit már az 1. és 2. csoportból is levezettünk. Úgy is mondhatjuk, hogy az egyenletrendszer szabadságfoka 2m + 2n ‒ 1, egy tetszőlegesen kiválasztott egyenlet nem hordoz pluszinformációt a többihez képest, így elhagyható. Walras úgy gondolta, hogy az egyenletek és az ismeretlenek számának egyezősége (ami, mint már említettük, változtatható technikai koefficiensek esetén is fennáll) elegendő ahhoz, hogy kijelentsük: az egyenletrendszer megoldható és a kapott gyökök egyértelműek. Valójában ez nincs így. 1954-ben ugyanakkor Kenneth Arrow és Gerard Debreu Nobel-díjas közgazdászok megmutatták, hogy akkor és csak akkor, ha egyetlen fogyasztási cikk gyártásának mérethozadéka sem növekvő, nincsenek kapcsolt termékek és externáliák, a walrasi egyenletrendszernek egyetlen, közgazdasági szempontból értelmes megoldása van.

Kapcsolódó szócikkek

• Általános egyensúlyelmélet
• Léon Walras

Irodalom

• Bekker Zsuzsa (szerk.): Alapművek, alapirányzatok. Aula Kiadó, 2002. ISBN 963-9345-33-4.
• Mátyás Antal: A modern közgazdaságtan története. Aula Kiadó, 1996. ISBN 963-503-0673.