Átló forrásának megtekintése

A [[matematika|matematikában]] az '''átló''' szónak [[geometria]]i jelentése van, de használják még a [[mátrix (matematika)|mátrixoknál]] is.
== Sokszögek ==
Egy [[sokszög]]re nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő [[szakasz (geometria)|szakasz]]. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy [[konvex]] sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a [[konkáv]] sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.
Egy ''n'' oldalú sokszögnek mindegyik csúcsából indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:
::(''n'' − 3) × ''n'',
viszont mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így az átlók száma:
:<math>\frac{(n - 3) \cdot n}{2}.\, </math>
=== Hossza ===
A két szomszédos csúcs közötti átló ''d'' hossza a [[koszinusztétel]]lel számítható:
:<math>d = \sqrt{s_0^2+s_1^2-2s_0s_1\cos\varphi_1}</math>
ahol ''s''<sub>0</sub> és ''s''<sub>1</sub> a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög.
A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.
* A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
:<math>d_3 = \sqrt{(s_0-s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2))^2 + (s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2\cdot \sin((\varphi_1+\varphi_2))^2}</math>
* A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
:<math>\begin{align}
d_4^2 & = (s_0 - & s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2) - s_3 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2\\
& + ( & s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) + s_3 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2 \end{align} </math>
* Az ''n''-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
:<math>d_n =\sqrt{ \left( s_0 + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i \cdot s_i \cdot \cos \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2 + \left( \sum_{i=1}^{n-1} - (-1)^i \cdot s_i \cdot \sin \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2}</math>
=== Speciális esetek ===
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.
* Egy ''a'' és ''b'' oldalú [[paralelogramma]] átlóinak hossza
: <math>e = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}</math>
és
: <math>f = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}</math>.
* Az ''a'' és ''b'' oldalú [[téglalap]] átlójának hossza a [[Pitagorasz-tétel]]lel számítható:
: <math>d = \sqrt{a^2+b^2}</math>.
* Az ''a'' oldalú [[négyzet]] átlója:
: <math>d = a\sqrt{2}</math>.
* Az ''a'' oldalú szabályos [[ötszög]] átlója:
: <math>d = \frac{a}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)</math>.
* Az ''a'' oldalú szabályos [[hatszög]]ben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza
: <math>d = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
:A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza
: <math>d = 2 a</math>.
== Poliéderek ==
[[Fájl:Cube diagonals.svg|thumb|right|[[Kocka]] egyik lapátlója (AC), illetve testátlója (AC').]]
A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját.
* Egy poliéder '''lapátlója''' a poliéder egy lapjának átlója.
* Egy poliéder '''testátlója''' egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza.
=== A testátlók száma ===
A testátlók száma ezzel a képlettel számítható:
:<math>Z = \frac{C (C-1)}{2} - E - \sum_{i=1}^L \frac{N_i(N_i-3)}{2}</math>,
.ahol ''C'' a csúcsok száma, ''E'' az éleké, ''L'' a lapoké, és az ''i''-edik lap éleinek száma ''N''<sub>''i''</sub>
Például a [[paralelepipedon]]okra:
: <math>C = 8 , \quad L = 6 , \quad E = 12 , \quad N_i = 4 \quad \forall i</math>:
:<math>Z = \frac{8 (8-1)}{2} - 12- \sum_{i=1}^6 \frac{4(4-3)}{2}</math>
:<math>Z = 28 - 12- 6 \cdot 2 = 4</math>
=== A poliéder átlóinak hossza ===
Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható.
* Egy ''a'', ''b'' és ''c'' élű téglatest testátlójának hossza <math>d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}</math>.
* Speciális esetként adódik a kocka testátlója: <math>d = a\sqrt{3}</math>.
:Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg.
== Mátrixok ==
A [[négyzetes mátrix]]oknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a [[mátrix (matematika)|mátrixban]] levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek [[vektor]]a.
Az [[egységmátrix]]ban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:
:<math>I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:
:<math>M = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>
Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő [[sávos mátrix]]ok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.
A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.
A főátlóra eső elemek összege a [[mátrix nyoma]], ami egyenlő a mátrix [[sajátérték]]einek összegével.
==Kapcsolódó szócikkek==
* [[Diagonális mátrix]]
* [[Tridiagonális mátrix]]
== Források ==
* Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
* Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1.
{{csonk-dátum|csonk-geometria|2005 augusztusából}}
{{Portál|Matematika}}
[[Kategória:Abszolút geometria]]
[[Kategória:Lineáris algebra]]