Átló

A matematikában az átló szónak geometriai jelentése van, de használják még a mátrixoknál is.

Sokszögek

Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak. Egy n oldalú sokszögnek mindegyik csúcsából indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:

(n − 3) × n,

viszont mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így az átlók száma:

$\frac{(n-3)\cdot n}{2}.$

Hossza

A két szomszédos csúcs közötti átló d hossza a koszinusztétellel számítható:

$d=\sqrt{s_0^2+s_1^2-2s_0{s}_1\cos {\phi }_1}$

ahol s₀ és s₁ a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög. A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.

• A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:

$d_3=\sqrt{(s_0-s_1\cdot \cos ({\phi }_1)+s_2\cdot \cos ({\phi }_1+{\phi }_2){)}^2+(s_1\cdot \sin ({\phi }_1)-s_2\cdot \sin (({\phi }_1+{\phi }_2){)}^2}$

• A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:

$\begin{array}{rlr}{d}_4^2& =(s_0-& s_1\cdot \cos ({\phi }_1)+s_2\cdot \cos ({\phi }_1+{\phi }_2)-s_3\cdot \cos ({\phi }_1+{\phi }_2+{\phi }_3){)}^2\\ & +(& s_1\cdot \sin ({\phi }_1)-s_2\cdot \sin ({\phi }_1+{\phi }_2)+s_3\cdot \sin ({\phi }_1+{\phi }_2+{\phi }_3){)}^2\end{array}$

• Az n-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:

$d_n=\sqrt{{(s_0+\sum _{i=1}^{n-1}(-1{)}^i\cdot s_i\cdot \cos \left(\sum _{k=1}^i{\phi }_k\right))}^2+{(\sum _{i=1}^{n-1}-(-1{)}^i\cdot s_i\cdot \sin \left(\sum _{k=1}^i{\phi }_k\right))}^2}$

Speciális esetek

Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.

• Egy a és b oldalú paralelogramma átlóinak hossza

$e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha }$

és

$f=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \alpha }$.

• Az a és b oldalú téglalap átlójának hossza a Pitagorasz-tétellel számítható:

$d=\sqrt{a^2+b^2}$.

• Az a oldalú négyzet átlója:

$d=a\sqrt{2}$.

• Az a oldalú szabályos ötszög átlója:

$d=\frac{a}{2}(1+\sqrt{5})$.

• Az a oldalú szabályos hatszögben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza

$d=a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza

$d=2a$.

Poliéderek

Kocka egyik lapátlója (AC), illetve testátlója (AC').

A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját.

• Egy poliéder lapátlója a poliéder egy lapjának átlója.
• Egy poliéder testátlója egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza.

A testátlók száma

A testátlók száma ezzel a képlettel számítható:

$Z=\frac{C(C-1)}{2}-E-\sum _{i=1}^L\frac{N_i(N_i-3)}{2}$,

.ahol C a csúcsok száma, E az éleké, L a lapoké, és az i-edik lap éleinek száma N_i Például a paralelepipedonokra:

$C=8,L=6,E=12,N_i=4\mathrm{\forall }i$:

$Z=\frac{8(8-1)}{2}-12-\sum _{i=1}^6\frac{4(4-3)}{2}$

$Z=28-12-6\cdot 2=4$

A poliéder átlóinak hossza

Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható.

• Egy a, b és c élű téglatest testátlójának hossza $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
• Speciális esetként adódik a kocka testátlója: $d=a\sqrt{3}$.

Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg.

Mátrixok

A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora. Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:

$I=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:

$M=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról. A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat. A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.

Kapcsolódó szócikkek

• Diagonális mátrix
• Tridiagonális mátrix

Források

• Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
• Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1.